三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

三角代换法可解的代数问题

对一些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换法，不仅使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，而且可使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算，然后利用三角变换使问题轻松获解．本文将探讨适合用三角代换法解决的代数问题．[第一段]     

“平面向量”模块高考复习中值得关注的几个问题

向量是数学和其他一些学科进行研究的重要且有利的工具,同时也是联结代数与几何的桥梁之一.灵活掌握向量的3种转化方法——向量法、坐标法、数形结合法,可以将几何问题和代数问题有机地结合,既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系,也可以给代数赋予几何直观.     

三角法在平面几何中的应用

利用三角法解决平面几何问题,可以使题目中几何量之间的关系变得简单明了,把几何变换和复杂的推理论证转化为三角函数运算,方法简捷,思路清晰.在应用三角法解平面几何题时,熟练掌握如下一些常用的结论是必要的.1.正弦定理、余弦定理.     

三角变换与欧拉公式

三角恒等变换中公式众多，难于记忆，各类型纷繁、灵活，这给解决三角变换问题带来了诸多不便。本文的目的是通过欧拉公式将这些公式统一化，并将三角运算转化为代数运算。一、欧拉公式与三角函数的关系：已知欧拉公式：④－⑥四个公式便是由欧拉公式推导出的新的三角函数关系式。这些公式的特点是：以指数式来表示三角函数，代入三角恒等式中便能将三角运算转化为指数函数的K数运算，使三角运算从多种思考法转化为单一思考法，避免了三角变换中公式及类型的选择过程，从而降低了三角变换的难度。指数运算平身有一些很好的性质，在这里便可…     

三角法在平面几何中的应用

利用三角法解决平面几何问题，可以使题目中几何量之间的关系变得简单明了，把几何变换和复杂的推理论证转化为三角函数运算，方法简捷，思路清晰。     

捕捉三角信息巧解代数问题

三角变换在数学中属于工具性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要善于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，     

以向量为背景的高考题例说

向量不仅具有数的运算性质,能够进行代数形式的运算,而且具有几何意义,能够进行几何形式的变换,即具有代数与几何形式的“双重身份”.正是这样的“双重身份”使它成为数学知识的交汇点,成为联系多种知识的桥梁,成为高考命题的热点.本文试图以典型高考题为例,探讨向量知识与其他数学知识间的结合点,以提高高考复习的针对性.向量与三角的结合点从向量与三角的关系来看,向量的坐标可以用三角形式来表示,向量的数量积运算中含有三角式子,坐标平移可以用向量来表示,因此三角与向量的结合点主要涉及以上三方面.例1:(2005年江西卷)已知向量a軆=(2co…     

刍议向量法在解三角形中的应用——“正(余)弦定理的证明”教学实录

向量是近代数学中重要且基本的概念之一,它是沟通代数和几何的一种工具,也是代数、几何等基础学科研究的基本内容.向量既有代数的运算,又有几何的特征.对于一些几何问题,可以考虑将它的几何元素和关系用向量来表示,而向量又可以像数一样参与代数运算,如此一来,这些几何问题就可以转化为向量之间的代数运算.在解三角形中,向量的代数运算功能也有很大程度的体现,而这一点恰恰被许多教师和学生所忽略.本     

三角代换法

三角代换是换元法的一种,某些代数问题在一定条件下完全可以转化为三角问题,从而简化运算过程,使解法耳目一新.它的基本思路是,依据代数式的结构特征,运用一些基本三角公式,把代数问题转化为三角问题进而灵活运用三角知识求解.这种方法可以称之为三角代换法,这种代换常有以下几种形式:     

构造复数解题例说

复数是中学数学知识的重要交汇点,它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则,决定了它与代数、几何、三角的紧密联系.为此,我们可以构造复数求解许多代数、三角和几何方面的问题.它不仅能够打破学科界限,激励学生学以致用,而且也能克服思维定势的影响,有效地培养学     

相交弦定理在解析几何中的运用

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题,偏重于相关量的数量关系研究.由于代数运算复杂,对运算能力要求较高,往往使很多学生对解析几何题望而生畏.事实上,解析几何问题的本质仍是几何问题,因此在解答解析几何问题时,若能充分把握解析几何中图形的特征,挖掘图形相应的几何性质,往往能简化运算,优化解题过程,从而事半功倍、别样精彩.     

复数在解题中的运用几则

复数及其运算具有明显的几何意义,沟通了代数与几何之间的联系。加之复数具有多种表示形式,灵活地运用这些不同的形式,不仅可使一些公式及运算简化,也使复数在几何和三角恒等变换方面有广泛的应用。下面我们通过几个实例来说明复数在解题中的一些应用。1.在解一些平面几何中线段和角的等量关系的     

类比三角公式巧解代数问题

有些代数问题,当我们用代数方法解决时,会觉得较难下手甚至束手无策,如果能根据题目结构特点,类比联想三角公式,通过三角代换,把问题转化为三角问题,不仅可使问题中的数量关系变得直接明了,结构特征明显,而且使代数中原来繁琐复杂的运算变成简单、灵活多变的三角运算.现举例说明.1 类比三角公式证明条件等式 例 1 设a,b为实数,a 1?b2 b 1? a2=1,求证:a2 b2 =1.(第 3 届“希望杯”数学竞赛题) 分析 由已知式知 a ≤1, b ≤1.由此及已知式的结构类比联想两角和的正弦公式,设a = sinα ,b = sin β , ?π / 2 ≤α 、β ≤π / 2 ,则…     

浅谈放缩法解题

将一个式子中的某一项或某一项中的某个因式进行放大或缩小(——不等替换),使其中向着结论倾斜变换,我们称之为放缩法。放缩法可以说是所有数学方法中最灵活的一种,因为它不受公式、法则、定理的严格限制,没有固定的模式可套,全靠解题者临场因“式”而行,相机而动。放缩法应用也相当广泛、代数、几何、三角无处不有,平时练习、竞赛考试无时不用, 下面就放缩法在多方面、多层次的应用举例说明。 一、放缩法在根式中的应用 根式运算是代数运算中较难的一种,如     

平面向量题型与高考走势

向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是代数、几何、三角的一个重要交汇点，成为“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体．同时，向量的坐标表示为运用代数方法研究几何问题提供了可能，因此是高考中的必考内容，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题．考查的重点是向量的概念、向量的两种表示方法、共线向量、零向量的概念、向量的运算及坐标表示等．其中，向量的共线、数量积、向量的平行与垂直、夹角公式与模是高考考查的热点内容．     

巧用复数解题五例

由于复数有向量、代数、三角等多种表示形式,而且复数的几何意义又把数与形结合起来。因此,把一些几何、代数、三角的问题转化为复数来求解,可以达到简化巧解的作用。一、巧用复数求轨迹利用复数与向量之间的对应关系,复数的模以及复数运算的几何意义,可巧求一些轨迹的方程。     

谈谈面积公式在解题中的作用

我们知道,很多几何题、三角题、代数题在解法上各有自己的规律。掌握了这些规律,在解题过程中将会遇到很多方便。然而数学题的解法毕竟是千变万化的,有些数学题如果光是按常规方法去解,有时将会显得复杂和繁琐。我们在解题过程中应该有灵活多变的能力,有些数学题,尤其是几何题和三角题,如果根据图形的性质,恰当地运用三角形面积公式,结合使用三角法,则将会显得简单、明了和直观。因此,在解题过程中,巧妙地运用三角形面积公式,有时有特殊的功效,甚至起到事半功倍的作用。 运用面积法解题,主要是从图形的性质出发,利用面积找出图形中边、角关系、或     

代数与几何“联手”解题

在几何中利用代数的运算是正常的,例如求两图形的交点就可以借助于解方程.可代数题中加入几何,多数人认为这会化简为繁,其实不然. 在解复数的问题时常有很复杂的问题,易出现思维停滞,很难求出,可是运动几何法就不一样了.     

用三角代换法证解一类代数不等式

在三角学中,拥有大量的三角变换公式和恒等式。它们在证解代数问题和几何问题方面,有着十分广泛的应用。利用三角法,可以证明一类代数不等式。根据不同的题知条什,适当选择相应的三角变换,可以使一些代数不等式的证明显得简捷奏效,妙趣横生,引人入胜。本文旨在总结概括出其中的一些规律。