为什么有公共弦的大圆劣弧长短于小圆劣弧长

全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下A）P62中说：“在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．”     

球面距离的一个证明

上海市高中三年级数学课本中有一个关于球面距离的结果：“可以证明，在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离．”     

球面上两点间距离定义的合理性

定义 在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离。 以上定义是现行中学课本给球面上两点间距离的定义。对于为什么大圆弧是最短的(本文称之为最短性)以及作为距离定义是否满足距离公理(本文称为公理性)?课本及教学参考书都没有提到,经查阅大量书刊,也未见到有关这个问题的说明。本文试图从这两方面说明这个定义的合理性。以期同仁赐教。 1 最短性 我们知道,球面上两点的连线中只有过这两点的圆弧和其它无规则的连线。显然无规则的连线总比圆弧长。因此,我们只要能证明所有这些圆弧中,过这两点的大圆弧中的劣弧是最短的。另外在同圆中优弧长总是大于劣弧长的,以下我们提到的弧总是指劣弧。 引理1 当z∈(0,π/2)时,函数f(x)=x/sinx是递增的。     

球面距离公式的推导及应用

球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．常见问题是求地球上两点的球面距离．对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB．下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式．     

释疑两点的球面距离

教材:在球面上,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离.学生的疑问:1.在立体图形中,没有直观性。2.转化为平面图形,虽然直观但不知所以然,教材也未给出证明.那么下面加以证明.分析:对于球来说,在过球面上任意两点的截面圆中,半径越大,则过这两点的一段劣弧长就越小,大圆的半径最大,则两点的球面距离最小.转化为平面图形,则为过两定点的圆中,半径越大,则弦所对劣弧长越小.如图1:已知R>r,求证:Lr∴2φ>2θ,∴π>φ>…     

球面距离公式及其应用

众所周知,球面上两点间的球面距离是指经过这两点的球的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.求球面上两点间的球面距离是立体几何中的难点之一.本文将给出地球表面上任意两点间的球面距离公式,并简要介绍其应用,供读者参考.     

球面距离的教学探讨

中学数学课本《立体几何》指出:在球面上,两点间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点间的球面距离。学生们对这一概念有如下想法:(1)为什么球面上两点间的最短距离不是过该两点某个小圆的劣弧长度,反而是过该两点的大圆劣弧     

教材答疑:《立体几何》中一个结论的证明

<立体几何>教材在定义球面距离时用到一个结论:"在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度."教材没有给出证明,笔者以下给出一种初等证明.     

论证球面上两点间的距离

在立体几何中关于球面上两点间的距离是这样叙述的:“在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点间的球面距离。”对于“最短距离”,我认为可以用下面方法进行论证。设AMB是经过球面上两点A、B的任意小圆⊙O_1的劣弧,ANB是过球面上两点A、B的大圆弧。将⊙O_1绕弦AB旋转,使⊙O_1所在平面与ANB所在大圆⊙O重合。     

一个结论的证明

高中《立体几何》在定义两点间的球面距离之前有一个未加证明的结论:“在球面上,两点之间的最短距离是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.”我经过反复思索得到这个结论的一种证明方法,现提供出来与同学们共同探讨并敬请老师们指正.     

由球面距探究出的不等式

在学习两点间球面距时,老师说球面上两点间的最短连线,是过这两点的某条劣弧(包括半圆),而且是过这两点的大圆上的劣弧,而不是过这两点的小圆上的劣弧．下面我以图1扇形对这个结论进行证明．不难发现弦长AB是个定长,设为l．又设球面上过A、B两点的任意两个圆的半径分别为r1,r2,对应的圆心角分别为     

球面上两点的最短距离的证明

教科书上对此问题只提出结论:“在球面上两点的最短距离.就是经过这两点的大圆在这两点之间劣弧的长度.”本刊在1988年第2期上有文章给予了证明.简述如下:     

立体几何中的最值问题

求立体几何中的最值问题,要涉及到诸多知识点,还需具备灵活转化的思维方法.下面举例说明这类问题的思考方向. 一、定义法我们知道,分别位于两条异面直线上的两点间的最短距离,就是两条异面直线的公垂线段长;球面上两点间的最短球面距离,就是过这两点的球大圆的劣弧长.利用以上定义,可直接获得求解途径.     

“老师,这个公理能证明吗?”——从一节高三习题评讲课的听课谈起

以下是我听课而经历的高三习题评讲课的一个片段,开课老师评讲的其中一道题为:地球表面上从北纬45度,东经120度的 A 地到北纬45度,东经30度的 B 地的最短距离为( ).A.R B.(2~(1/2)/4)R C.πR/3 D.πR/2教师:球面上 A、B 两点的最短距离是指这两点的球面距离,即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.因此,我们只需算出球心角∠AOB 即可……没等老师说完,一个常到数学办公室问问题的学生抢着说:老师,球面上两点间的最短距离为什么就是这两点的球面距离?教师(有一点迷惘):这是一个公理,不要求学生证明.学生:老师,这个公理能证明吗?     

球心角——球面距离的核心

球面距离问题,是立体几何考试热点问题,也是立几教学中的难点问题.球面上两点间的球面距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长.定义较为抽象,学生不易     

球面距离公式及其应用

球面距离的概念和球面距离的求法是中学数学教学中颇感棘手的问题 .《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )》对于这一知识点的处理方法是就题论题 ,许多教学参考书也未给出详细的球面距离计算公式 .为此本文介绍球面距离公式并举例说明其应用 .一、球面距离的概念经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离 ,即球面上两点间的最短距离 .二、球面距离公式的推导如图 1 ,如果球O的半径为R ,球面上两点A、B的经度分别αA、αB,纬度分别为 βA、βB,那么A、B两点间的球面距离为AB =Rarccos[sinβAsinβ…     

导数在球面距离中的应用

在学习高中数学球面距离时，有很多同学会问：为什么飞机、轮船尽可能以大圆弧为航线航行?老师的回答是：根据球面距离的定义．然而这样的回答，使个别同学难以信服，因而也就对球面距离的概念不解，他们就想：为什么球面上所有连接两点的线中，经过大圆的劣弧的长度最短，而不是其它圆．     

另类距离

我们知道：在几何学中．空间两点之间的距离是指连接这两点的直线段长度．这在只考虑事物的空问肜式和数量关系的数学中来说是十分自然的，因为两点间的距离．直线段最短，但是，如果我们的问题不仅仅只是涉及事物的空间形式和数量关系。这种对距离的定义就不一定有道理了例如．在图1的象棋盘中．“马”所在位置到B点的距离比到A点的距离要近．但由于“马”的特殊走法．到A点只需走1步，而到B点却至少要走3步．对这个“马”来说，到B点的“距离”比到A点的“距离”更远．     

另类距离

我们知道:在几何学中,空间两点之间的距离是指连接这两点的直线段长度.这在只考虑事物的空间形式和数量关系的数学中来说是十分自然的,因为两点间的距离,直线段最短.但是,如果我们的问题不仅仅只是涉及事物的空间形式和数量关系,这种对距离的定义就不一定有道理了.例如,在图1的象棋盘中,“马”所在位置到B     

公理就在身边——学习线段公理有感

我们已经学习了一个关于线段的公理:“所有联接两点的线中,线段最短。”由这个“线段公理”还引出“距离”的概念:“连结两点的线段的长度叫做这两点的距离。”在中学数学中,今后还要学习一系列有关“距离”的概念,这里只是一个“源头”而已。