一类数列的前n项和公式及其应用

众所周知,自然数列的通项为an=n（n∈N＋）,其前n项和为Sn=1/2n（n＋1）①,本文给出①的一般情形,即 命题1 设数列{n（n＋1）（n＋2）…（n＋k-1）}（n,k∈N＋且n≥k）的前n项和为Sn,则     

利用“整除”思想求解数列中“不定方程”问题

题目（2014年浙江高考题）已知等差数列{an}的公差d〉0．设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36． （1）求d及Sn; （2）求m,k（m,k∈N^＊）的值,使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k=65.     

Vander Corput不等式的新加强

对VanderCorput不等式进行研究,并将其进一步改进如下：设aa≥0,n=1,2,∧,Sn=k=1∑n 1/k,∞∑n=1（k=1∏n ak 1/k）^1/sn≤e^1＋y ∞∑n=1e-1/25n（n-17/50n logn）an,则其中为Euler常数．     

浅谈函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道,{αn}是等差数列时,αn=α1＋（n-1）d,Sn=nα1＋n（n-1）/2d（Sn=αn^2＋bn,Sn/n=αn＋b（a≠0））.当a≠0时,世,Sn/n是n的一次函数,S是n的二次函数,且不含常数项（n∈N^＋）．     

2011年江苏高考压轴题别解

<正>2011江苏高考第20题:设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.(1)设M={1},a2=2,求a5的值;(2)设M={3,4},求数列     

an=Sn-Sn-1（n∈Z,n≥2）与待定系数法裂项求和

根据数列{an}的前n项和Sn与an的关系an=Sn-Sn-1（n∈Z,n≥2）可知,凡是存在通项公式Sn=f（n）的递推公式Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an,     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

差数列求和公式变式的灵活应用

等差数列常见的求和公式有： ①Sn=a1n＋n（n-1）/2d; ②Sn=n（a1＋an）/2; ③Sn=An^2＋Bn（A=d/2,B=a1=d/2）.     

2011年江苏高考压轴题别解

2011江苏高考第20题： 设M为部分正整数组成的集合,数列｛an｝的首项a1=1,前n项的和为Sn。已知对任意的整数k∈M,当整数n〉k时,     

放出容易收回难克服定势寻它法

例1 （2009年全国高考陕西卷文21变式）已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,a2=2,Sn＋2=Sn＋3an＋1＋an/2,n∈N^＊.     

利用三点共线巧解等差数列问题

我们知道，等差数列{an]通项公式为：an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d），前n项和公式为：Sn=na1＋n（n-1）/2d=d/2n^2＋（a1-d/2）n，因而Sn/n=d/2n＋（a1-d/2）。由解析几何知识可知，点（n,an）在斜率为d的直线上，点（n,Sn/n）都在斜率为d/2的直线上，利用好这一结论就能给解题带来极大的方便。     

2011年江苏高考数学压轴题的推广、迁移和反思

原题：设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,已知对任意整数k∈M,     

等差数列的求和公式

等差数列的求和公式有： （1）Sn=na1＋n（n-1）/2d; （2）Sn=（a1＋an）n/2;     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

一个递推式的证明及应用

定理：如果Sn=ax^n＋by^n,那么Sn=（x＋y）Sn-1-xySn-2（n∈N,且n≥2）.     

用函数观点认识数列

数列是一种特殊的函数,其通项an=f（n）是这一函数的解析式,前n项和Sn也是关于n的函数．等差数列通项公式an=a1＋（n-1）d（d≠0）为n的一次函数,即an=an＋b,前n项和为n的二次函数,即Sn=An^2＋Bn;等比数列通项公式an=a1q^（n-1）,     

09年高考试题研究 1．全国卷Ⅰ理科第19题

题目设数列{an）的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn＋1=4an＋2． （1）设bn=an＋1-2an,证明数列{bn}是等比数列;     

是“巧合”而非“巧解”

题目　等差数列 { an} ,{ bn}的前 n项和分别为 Sn和 Tn,若 Sn Tn=2 n3n 1,则 limn→∞anbn等于(　　 )(A) 1　 (B) 63 　 (C) 23　 (D) 49误解　由 Sn Tn=2 n3n 1,可设 Sn=2 n· k,Tn=(3n 1)·k,(k≠ 0 ,k为常数 ) ,因而 an=Sn- Sn- 1 =2 k,bn=Tn- Tn- 1 =3k,∴limn→∞anbn=2 k3k=23,故选 C.这是 1995年全国高考题理科第 12题 ,文科第 14题 ,此题答案确为 C.上述误解易犯而难悟 ,得出答案 C纯属巧合 ,并非巧解 .错解分析　解答的错误在于“设 Sn=2 n· k,Tn=(3n 1)· k,(k≠ 0 ,k为常数 )”,事实上 ,对于等差数列来说 ,前 n…     

关于Mordell方程y^2=x^3＋k

设l,l1,l2,…,ls为任意整数,n为正整数,n1,n2,…,ns为任意非负整数．用初等数论方法证明了：如果k满足k=（4l＋2）^3-Пi=1^s（4li＋1）^2ni或k=（4l＋3）^3-2^2nПi=1^s（4li＋1）^2ni,则Mordell方程y^2=x^3＋k无整数解．     

数列问题常见错误分类辨析

1.不了解数列的性质【例1】已知两个等差数列前n项和的比为Sn∶S′n=(5n+3)∶(2n+7),求这两个数列第九项之比a9b9的值.错解:由题意设Sn=(5n+3)k,S′n=(2n+7)k,则S9=48k,S8=43k,S′9=25k,S′8=23k.∴a9b9=S9-S8S′-S′8=48k-43k25k-23k=52辨析:错因是对等差数列前n项和公式缺乏了解.错解中设Sn=(5n+3)k,这里将Sn看成关于n的一次函数,显然是错误的.实际上,等差数列中Sn=na1+n(n-1)2d.即Sn=An2+Bn,它不一定是n的一次函数.正解:设Sn=(5n+3)kn,S′n=(2n+7)kn,则S9=432k,S′9=225k,S8=344k,S′8=184k,∴a9b9=S9-S8S′9-S′8=432k-344k…