解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

探析圆之“最值”

与圆有关的最值问题是一类热点问题,常见解法是观察所给式子的几何意义,充分利用圆的性质,由数形结合来解决. 一、与圆上的点的坐标有关的最值问题 例1 设实数x、y满足x 2+(y-1)2=1,求y+2/x+1的最值. 分析:y+2/x+1的几何意义是圆上一动点(x,y)与已知定点(-1,-2)连线的斜率.     

利用数形结合思想解数学题

一、利用距离公式例1已知x+y+1=0,则u=(x-1)2+(y-12姨)的最小值为.解如图1所示,如果将u=(x-1)2+(y-1)2看姨成是P(x,y)与B(1,1)两点间的距离,由于点P(x,y)的坐标满足x+y+1=0,所以u的最小值也就是点B(1,1)到直线x+y+1=0的距离,所以um=1+1+13姨2in=.姨22二、利用直线斜率公式例2实数x,y满足(x-2)2+y2=3,求y的最大值.x解如图2所示,设点P(x,y)为圆(x-2)2+y2=3上任一点,则y为直线O P的x斜率k.易求得km=3,ax姨即y的最大值为姨3.x三、利用单位圆例3已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是A.tancosθθ2222C.…     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

数形结合两例

例1求函数 的最值。 分析联想到由两点坐标求直线斜率的公式,则可将问题转化为求两点A(3,2)、B(cosx,sins)所确定的直线的斜率的最值问题。 因为sin2x+cos2x=1,所以点B在以原点为圆心的单位圆上。设过A点的直线议程为y-2=k(x-3),y=kx+     

数学问答

问题 9．过椭圆C:x2/8 y2/4=1上一点P(x0,y0)向圆O:x2 y2=4 引两条切线PA、PB,A、B为切点,如果直线AB与x轴、y轴交于M、N两点． (1)求直线AB的方程(用x0、y0表示)． (2)求△MON的最小值(O为原点)． (河北晓风)     

形如(y_1)/(x_1)·(y_2)/(x_2)=k问题的解法(高二、高三)

有一类题目:已知曲线上两点M(x1,y1)、N(x2,y2),O为坐标原点,直线OM、ON的斜率的乘积为定值……虽然这类题目的设问不尽相同,但都有一个共同的解题思路——设法得出以y1/x1,y2/x2为根的一元二次方程. 例1 已知直线x 2y-3=0和圆x2 y2 x-6y F=0交于M、N两点,O为坐标原点,且OM⊥ON,求F的值.     

利用圆巧求取值范围

一、利用圆的切线的斜率例1已知实数x、y满足x~2+y~2=1,求y+2/x+1的取值范围.解析单从数的角度研究,似乎很难.转换角度,以数形结合来研究,各式都有具体的形象.如图1,设P(x,y)是圆O:x~2+y~2=1上的点,则y+2/x+1是过P(x,y)、A(-1,-2)两点直线PA的斜图1率k_(PA).过A作圆的切线AB和AC,     

一道解析几何题的多种思路

例 已知直线l：y=k(x 2√2)与圆O：x^2 y^2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积是S．(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求定义域；(2)求S的最大值及取得最大值时的k值．     

在值域问题上与斜率有关的转化思想

我们在求值域问题上经常遇到形如y=(x+a)/(x+b)的函数求值域问题,因为与我们所学过的直线斜率的形式有相似之处,所以采用数形结合的方式进行转化,从而解决这类问题。例求函数y=x-1/x+1的值域。解:由形式出发可转化成动点P(x,x)与定点A(-1,1)两点连线的斜率。P(x,x)在直线y=x上,所以kAP≠1。所以y∈(-∞,1)∪(1,+∞)。     

弦函数的最值点在解题中的应用

弦函数的最值点,不但可以显示函数的最大值和最小值,而且利用它还可以解决其它一些问题,请看下面的例子. 一、求三角函数的解析式例1(90年全国高考题)已知函数y=Asin(ωx )在同一周期内,当x=π/9时,取得最大值1/2,当x=4π/9时,取得最小值-1/2,则该函数的解析式为( )     

借助向量求多元函数的最值问题

在有些二元函数求最值的问题中,构建向量模型,常常会使复杂的问题变得简洁明了,利用向量的坐标及向量的内积,会使繁锁的解题过程显得巧妙与自然,下面举例进行分析:【例1】已知:x2 y2=1,求3x 2y的最大值.解:由已知,可取一定点M(3,2)设N( x,y)为圆x2 y2=1上任意一点,0为原点,则OM     

一道二元函数最值题的解法探究与思考

2019年清华大学自主招生笔试第11题形式新颖,内涵丰富,引起了笔者深入的探究和思考.一、试题简析题目实数x、y满足x^2+(y-2)^2≤1,求x+√3y/√x^2+y^2的最大值和最小值.本题是一道含约束条件的二元函数最值问题,题目以解析几何中的圆和函数为背景,考查数形结合、分类整合、转化与化归等数学思想,同时考査学生分析问题和解决问题的能力,具有很好的选拔功能.本题的成功解决要求学生具有一定的思维深度和广度,难点在于如何根据条件合理转化,将二元函数问题转化为一元函数问题.     

有关圆锥曲线定值问题的几个结论

<正>题目如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3¹/2/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与N.(1)求椭圆的方程;(2)求→TM·→TN的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S,O为坐标原点,求证:|OR|·|OS|为定值.     

解题教学要从学生的思维出发——一道测试题的解题教学实践与思考

正1试题概况在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(ab0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.(1)若P(-1,3(1/2)),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程;(2)若PA PF是常数,求椭圆C的离心率;(3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在轴上的射影为点     

斜率的妙用

斜率是直线重要的数字特征,素有“直线之魂”的美称.它不单在直线的知识体系中“位高权重”;在其他的知识模块中它往往也能够扮演“魔术师”的角色,总能给我们惊喜不断.本文从以下几个方面加以说明:一、已知动点(x,y)在某函数(或区域)上,求cayx db(ac≠0)的最值(或范围)(图1)【例1】若实数x、y满足等式(x-2)2 y2=3,那么xy的最大值为.解析:(如图1)只要将yx转化为yx--00,本题则可化归为求圆(x-2)2 y2=3上的一动点(x,y)与定点P(0,0)连线斜率的最大值.易知当连线与圆相切时斜率最大.在Rt△APO中OA=2,AP=3所以OP=1,故tan∠AOP=OAPP=3,所…     

用距离公式巧解二次根式问题

········y12(3,0)xAOBM′在高中代数中,根式问题是一个较为复杂和困难的问题,尤其是像“求函数y=│$x2-2x 5-$x2-4x 5│的最大值与最小值,并求取得最大值或最小值时的x的值”这一类含两个根式的问题,更是让人难以找到解决的突破口.但是若把根式转化为两点间的距离,利用     

利用数形结合拓宽解题思路

<正>高中数学有四大基本思想,数形结合是其中之一。其实数形结合就是抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,使抽象问题直观化。我国著名数学家华罗庚也说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。"例如,如果实数x,y满足(x-2)²+y2+y²=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)2=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)²+y2+y²=3这个圆的方程联立,转化成     

构造解几模型,探求函数值域

函数值域求法很多,如配方法,导数法,单调性法、不等式法等等.数形结合法就是其中一种,即充分利用图形的几何性质,构造数学模型,使问题得以较快速地解决.1构造斜率模型借助斜率求函数值域就是将问题转化为某曲线上的动点与一定点连线的斜率的范围问题.例1求函数sin3cos1yxx=++的最值.分析原函数可化为sin(3)cos(1)yxx=????,所以函数值表示过圆x2+y2=1上的动点和定点A(?1,?3)的直线的斜率,如上图,过点A的直线与圆O相切时,取得最值.设切线方程y+3=k(x+1),则由点到直线距离公式有2|3|11kk?=+.解得3k=3,所以函数最小值为33,无最大值.点评形如商…     

应用三角换元法解竞赛最值问题

本文以部分高中数学竞赛题为例,谈谈三角换元法在解最大值和最小值问题中的应用,供高中师生教学时参考. 1 解最大值问题 例1 (2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛试题)设实数x,y满足17(x2+y2)-30xy-16 =0,求 f(x,y) =√16x2 +4y2-16xy-12x+6y+ 9的最大值.