三角代换法可解的代数问题

对一些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换法，不仅使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，而且可使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算，然后利用三角变换使问题轻松获解．本文将探讨适合用三角代换法解决的代数问题．[第一段]     

三角变换与欧拉公式

三角恒等变换中公式众多，难于记忆，各类型纷繁、灵活，这给解决三角变换问题带来了诸多不便。本文的目的是通过欧拉公式将这些公式统一化，并将三角运算转化为代数运算。一、欧拉公式与三角函数的关系：已知欧拉公式：④－⑥四个公式便是由欧拉公式推导出的新的三角函数关系式。这些公式的特点是：以指数式来表示三角函数，代入三角恒等式中便能将三角运算转化为指数函数的K数运算，使三角运算从多种思考法转化为单一思考法，避免了三角变换中公式及类型的选择过程，从而降低了三角变换的难度。指数运算平身有一些很好的性质，在这里便可…     

利用三角法解平面几何题

三角法是代数法的一种.在解题过程中,先利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式等将几何中的线段、角的关系表示成代数形式,再通过三角运算解决几何问题,既可以使平面几何中复杂的量与量之间的关系变得简单明了,又可以将复杂的演绎推理转化为三角运算,思路清晰.     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

三角代换法

三角代换是换元法的一种,某些代数问题在一定条件下完全可以转化为三角问题,从而简化运算过程,使解法耳目一新.它的基本思路是,依据代数式的结构特征,运用一些基本三角公式,把代数问题转化为三角问题进而灵活运用三角知识求解.这种方法可以称之为三角代换法,这种代换常有以下几种形式:     

复数法在解竞赛题中的应用

复数是高中代数中一个很有特色的重要内容．复数集的建立，不仅完善和发展了数集理论，而且从新的途径、新的视角沟通了数学各分科间的联系，特别是复数的多种表示方法（代数法、三角法和指数法等）及其多种运算所蕴含的实际意义能将代数、三角、几何等知识紧密地联系起来，在数学竞赛中常有有关复数的考题．     

平面向量的工具性及解题应用

向量是集数与形于一身的数学研究工具，具有表示形式多样、运算法则丰富、思想深刻、应用广泛的特点，为处理代数、几何、三角、不等式等各领域数学问题提供基础工具和方法，在解决各类问题中发挥重要作用.     

复变量代换解题探讨

复变量z=a+bi区别于实变量的显著标志是它由两个变量a与b有序构成,其表现形式是代数运算、三角运算、几何运算,在数学的许多问题中,通过复变量代换可化繁为简、化难为易.     

构造复数解三角题

把三角问题转化为代数问题是构造复数解三角题的基本思想。利用复数与三角函数、复数幅角与反三角函数的关系 ,构造复数把求三角函数值和三角函数式的值 ,证明三角恒等式 ,以及解反三角函数和三角方程问题转化为求代数式的值或等比数列的和 ,解一元二次方程等代数运算。     

构造复数解题例说

复数是中学数学知识的重要交汇点,它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则,决定了它与代数、几何、三角的紧密联系.为此,我们可以构造复数求解许多代数、三角和几何方面的问题.它不仅能够打破学科界限,激励学生学以致用,而且也能克服思维定势的影响,有效地培养学     

求解三角最值问题的思维层面

最值问题是三角的重要题型，综观2004年高考试卷及各地模拟试题，三角最值问题随处可见．因为它不仅能考查用数学思想引领解题的意识，而且还易于考查三角变换等代数运算技能．下面从思维层面上进行探讨，怎样处理好三角最值问题．以期能够帮助考生有效地把握此类问题的分析与求解．     

谈运算能力的培养

培养学生的运算能力,是数学教学中的一项重要任务.初中代数中“结合变换、分解变换、引入参数变换”是数学运算中最基本的变换,也是数学中最重要的分析问题的思维方法,它在几何、三角中有广泛的应用.     

方法开路 巧解三角形

有些三角题，单纯用三角公式去解不易奏效，还需用到一些代数运算才能达到解题的目的．下面介绍几种常用的方法．     

解析n次单位根在三角数列中的应用

n次单位根不仅在复数的开方运算中有奠基作用，而且与初等代数的其它内容有十分密切的联系，特别是运用n次单位根解决有关三角数列求和与积及有关二项式定理问题思维具有创新性，而且通过运用n次单位根的概念与性质解决这些初等代数问题，为后继学习级数，复变函数，从知识，思维到方法均能起到铺垫作用。     

类比三角公式巧解代数问题

有些代数问题,当我们用代数方法解决时,会觉得较难下手甚至束手无策,如果能根据题目结构特点,类比联想三角公式,通过三角代换,把问题转化为三角问题,不仅可使问题中的数量关系变得直接明了,结构特征明显,而且使代数中原来繁琐复杂的运算变成简单、灵活多变的三角运算.现举例说明.1 类比三角公式证明条件等式 例 1 设a,b为实数,a 1?b2 b 1? a2=1,求证:a2 b2 =1.(第 3 届“希望杯”数学竞赛题) 分析 由已知式知 a ≤1, b ≤1.由此及已知式的结构类比联想两角和的正弦公式,设a = sinα ,b = sin β , ?π / 2 ≤α 、β ≤π / 2 ,则…     

基于空间解析几何方法的立体几何问题解析

向量运算与解析几何、立体几何、函数和三角有着密切的联系,也是近年高考的一种趋势题型。空间解析几何中的向量运算和线面关系为解决立体几何问题提供了一个代数化的方法。     

基于空间解析几何方法的立体几何问题解析

向量运算与解析几何、立体几何、函数和三角有着密切的联系,也是近年高考的一种趋势题型.空间解析几何中的向量运算和线面关系为解决立体几何问题提供了一个代数化的方法.     

高三复数专题复习漫谈

复数知识在高中数学中既具有相对的独立性,又具有较强的综合性.其重要的知识点有:复数的概念,复数相等的定义,复数的向量表示,复数的代数形式、三角形式及其运算.《考试说明》中对这部分内容的要求为:(1)理解复数及其有关概念,掌握复数的代数、几何、三角表示及其相互转换;(2)掌握复数的运算法则,能正确地进行复数的运算,并理解复数运算的几何意义;(3)掌握在复数集中解一元二次方程和二项方程的方法。     

复数教学中数学思想方法的培养

复数是中学数学中重要内容之一,也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点,应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化,在教学(复习)中可纵横联系,不仅有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力,而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意识。一、重视复数的运算复数的运算律、模与幅角的性质、共轭复数的性质散见于课本例题及习题中,应总结并灵活应用,使学生掌握复数的运算法则,能正确简捷地进行复数运算。     

向量的数量积之解题技巧探微

向量在代数、三角函数、解析几何、空间几何中应用广泛,尤其是向量数量积可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。向量极大地丰富了运算的规律,是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁。向量强有力地充实了数学课程里的元素,使得数学课程焕发出崭新的生命力。