一道第49届IMO赛题的类比

正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4.     

一道IMO预选题的简证与推广

文[1]例1给出如下一个不等式: 设x,y,z是正实数,且xyz=1.证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 x)(1 y)≥3/4.①     

2005年全国高中联赛加试第二题别解

2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故     

一类分式不等式的联想

文[1]提出并证明如下分式不等式:问题1已知x、y、z为正实数,求证:x/(2x y z) y/(x 2y z) z/(x y 2z)≤3/4.其后,许多文章给出了该不等式的证明,如文[2]、文[3],笔者再给出一种简单的证法.     

一个猜想的否定及改进

有名辉老师在文[1]中对“一道第49届IMO赛题(第2题)的类比”后提出猜想: 设实数λ,x,y,z满足:-1＜λ＜1,λx,λy,λz都不等于-1,且xyz=1,则x2/(1+λx)2 +y2(1 +λy)2+z2/(1+λz)2≥3/(1+λ)2.(1)     

2005年高中数学联赛加试题二之“源”与再推广

1 赛题与"源" 赛题 (2005年全国高中数学联赛加试题第二题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/(1+x)+y2/(1+y)+z2/(1+z)的最小值.     

一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

一个擂题的源与流——兼擂题(82)的评注

本刊2006年第6期刊出的由笔者提供的有奖解题擂台(82)是:设x、y、z是正实数,满足x2 y2 z2=1,n是正整数,证明或否定:1/(1-x~(2n)) 1/(1-y~(2n)) 1/(1z~(2n))≥(n n1)~(1 1/n).(1)本文给出不等式(1)的起源、引申及擂题(82)的评注.1起源《美国数学月刊》2006年第1期刊登了德国人Ol     

一个不等式的多证

题已知x、y、z均为正实数,求证：x/2x＋y＋z＋y/x＋2y＋z＋z/x＋y＋2z≤3/4（1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克问题初40题）文[1]、[2]分别给出了上述不等式的一种证法．本文再给出几种新证法．     

一道联赛加试题的构造性简解

2005年全国高中数学联赛加试题第二题如下:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy+bz=a;az+cx=b;bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)=x~2/(1+x)+y~2/(1+y)+z~2/(1+z)的最小值.本文运用构造法给出一个比较简捷的解法,供大家参考.根据条件不等式及待求分式结构,构造随机变量ξ的分布列如下:     

不等式的证明（一）

已知 x,y,z 为正实数,求证:(xy yz zx)[1/(x y)~2 1/(y z)~2 1/(z x)~2]≥9/4 (1)甲:我在一本书上看到这题的解答,看不懂,太复杂了。老师有没有简单的做法?师:左边式子很复杂,我也得试一试.乙:是不是可以设 x y z=1?师:可以这样设,但未必有什么好处,因为∑xy 是比较小的,常见的不等式都是它的上界估计,而现在     

一个不等式的新证

1996年<中等数学>第2期数学奥林匹克题初40题为:已知x,y,z为正实数,求证:(x)/(2x y z) (y)/(x 2y z) (z)/(x y 2z)≤(3)/(4).     

一道IMO预选题的推广

问题:设x、y、z是正实数,且xyz=1,证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 z)(1 y)≥3/4.(39届IMO预选题)     

也谈一道数学奥林匹克题的简证及推广

1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有一道试题 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并指出等号成立的条件 .文 [1]给出了这道赛题的简证并将其推广为 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 ,则xnym ynzm znxm≤ nnmm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .上述推广是正确的 ,但赛题和推广的证明方法都是错误的 .这是因为式子xnym ynzm znxm (n>m,n,m∈N) (*)是关于 x,y,z的轮换对称式 ,而不是 x,y,z的 (可换 )对称式 .如果在 (*)式中作轮换代换 (x,y,z)→ (y,z,x)或 (x,y,z)→ (z,x,y) ,所得式子与 (*)式相同 ;但…     

一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

《数学通报》1580题的另两种证法

《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r=     

三个不等式的统一研究

题1(《数学通报》2007年1月1651号问题)已知x、y、z∈R+,n∈N,求证:x/nx+y+z+y/x+ny+z+z/x+y+nz≤3/n+2(1).     

几个数学问题的加强

1 (<数学通报>2009年1月号问题1772)设x、y、z ∈R+.试证: y+z/2x+z+x/2y+x+y/az≥2x/y+z+2y/z+x+2z/x+y (1) 今给出(1)式的一个加强推广,供参考.     

一道IMO试题的简证

题目已知 x,y,z≥0,且 x y z=1.求证:0≤xy yz zx-2xyz≤7/(27)这是第25届 IMO 试题,文[1]给出的“巧证”,巧在将“1”整体代入,但过程较繁,其实,灵活运用有关三角公式来证明此题将较为简捷.     

两个数学问题的推广及引伸

有如下两个数学问题: 题1已知x、y、z∈R+且x+y+z=1,求证: