实数与虚数的比较

引入复数后,必须考虑在实数集中有哪些性质在复数集中仍成立,有哪些性质在实数集中成立而在复数集中不成立。为此,将实数与虚数作一比较。一、实数有正负数之分,也有有理数、无理数之别;虚数没有正负虚数之分,也没有有理虚数、无理虚数之别,但虚数有互反数。二、两实数有相等与不等的说法,亦有大小的区别;两虚数只有相等与不等的说法,而没有大小的区别。这是因为实数集是有序集,复数集是无序集。三、在笛卡儿平面上,坐标原点是横轴与纵轴的公共交点;在高斯平面(复平面)上,坐标原点只在实轴上,而不在虚轴上。四、1.在实数集R中,有|a|≥a;在虚数集R中,|Z|≥Z显然是错误的。     

复数的一些应用

在中学里,引入虚数单位i以后,实系数的一元代数方程(任意次)就都可解了。复数的这一“功绩”似乎应该使人对它存在的必要性不再发生怀疑。但是事实不然,学生学过复数以后,还是不大相信它,觉得复数虚无飘渺,难以捉摸。发生这种情况,最主要的原因是没有了解复数究竟有什么具体意义,在什么地方可以派得上用场。这里让我们很粗略地介绍一下复数的一些应用。一、平面上的点、向量、复数我们知道,复数a bi的几何表示是平面上一点(a,b)。平面上每一点可以用一对实数来表示,也可以用一个复数来表示。平面还是同一个,只是用了不同的方法绘出它的表示而已。正象一个人尽管有好几个名字,但被表示的都是同一个人。用复数来表示平面上的点,优点是只要用“一”个数表示一个点,这样就便于进行运算。     

虚数神秘性的破解

虚数是为了解决数学本身的问题而引入的,人们把虚数当做数来使用源于三次方程而非二次方程.在相当长的时间里,人们对负数的平方根究竟是不是数持怀疑态度,甚至有所抵制.在几何学思想一统天下的时代,如果虚数没有对应的几何意义,那么它在数学中就没有立足之地.经过几代数学家近三百年的争论与求索,1831年高斯详尽而系统地表述了平面笛卡儿几何与复数域的等价性,揭示了复平面与复数集的一一对应关系.     

复平面上的圆的方程

在复平面上,任意一点(x,y)可用复数z=x iy表示;反之,任意一个复数z=x iy亦表示复平面上的一个点(x,y)。复数与复平面上的点之间建立了一一对应关系。同样,从原点O到复数z=x iy所引的向量与这复数Z也建立一一对应关系。为了方便,我们将“复数”、“点”与“向量”不加区别。     

虚轴可以包括原点

将本文后面所列参考文献分别简称为文[1]、文[2]等,将全日制十年制学校高中课本数学第三册简称为数材,将人民教育出版社出版全日制十年制高中数学第三册教学参考书简称为教参。教材中说:“复平面的虚轴不包括原点;原点在实轴上,表示数0”。教参中说:“复平面与一般的坐标平面的唯一区别就是平面的虚轴不包括原点。”文[1]不同意这种见解,认为虚轴应该包括原点。文[1]发表后引起了一些同志争论,众说纷纭。笔者对教材、教参和文[1]都有意见,本文谈笔者的看法,欢迎指正。 (一)纯虚数有不同的定义本文讨论的复数a bi中,a、b均为实数。a 0i常记为a,0 bi常记为bi。我们要讨论的问题与纯虚数的定义有关,先从纯虚数的定义谈起。纯虚数有两种定义,它们是: 定义1 形如bi的复数叫做纯虚数。     

复数问题与实数问题的转化

1复数问题向实数问题的转化复数集是实数集的推广和发展,在解决复数问题时,将复数问题转化为熟悉的实数问题,有助于解决问题.复数问题向实数问题的转化,主要用于求实数、虚数、纯虚数、对应点在复平面的某一位置等问题,其转化的关键在于利用复数相等的条件解题.     

高考中复数问题的分类与解题启示

考纲对复数的考查基本如下：理解复数的基本概念、复数相等的条件;了解复数的代数表示法和几何意义（复平面）;会进行复数代数形式的四则运算,并懂得加、减运算的几何意义（复平面）等.下面谈谈高考复数试题的考查重点和命题意图.1对复数相关概念的直接考查这类题目在高考中出现的频率不低,一般涉及实数、复数、虚数、复数的模、共轭复数等概念及实数、复数、虚数三者与复数代数表达式的关系,属于基本简单题型,教师要向学生强调发掘题目条件的关键“字眼”。     

“四元数”与“数”的争论

对于外行来说 ,要理解如何能把数描述为具有不同的维 ,是困难的 .一个数似乎只是数而已———是描述一个特定的量的东西 .一、二、三、四等等这些数怎么会有维数 ?好吧 ,让数学家们来给数的特征作出另外的解释吧 .例如 ,数学家们认为任何实数或任何虚数都是一维的 ,因为它们本身只有一个部分是表明它们的数量的 .而且它们能图示在作为一维对象的一条直线上 .另一方面 ,复数称做二维数 ,因为它们由一个实数和一个虚数组成 .例如 ,当 5 + 2i被图示时 ,它占据一个平面 (二维图形 )上的某一位置 ,这个平面称做复数平面 .现在你会问 ,二维数的用…     

陈题巧解一例

<正> 题目已知z∈C,z≠±1,且z+1/z-1是纯虚数,求复数z在复平面内对应的点的轨迹. 解法1 把z+1/z-1看成一个整体.∵z+1/z-1是纯虚数,即它在复平面上所对应的点在虚轴上,     

重视数形结合的思想方法

一、数形结合，有利于学生深刻理解数学概念的内涵，牢固地掌握基础知识学生刚接触复数时，对虚数单位i总不好理解，感到虚无渺茫，但借助于直角坐标系，将复数与平面内的点一一对应，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应后，学生才能“化虚为实”，加深对复数的理解：它与实数一样，反映物质存在的数量关系，区别只在于，实数是在一维空间（数轴）上体现，而复数在二维空间（复平面）上体现。在此基础上，学生进一步学习复数模的定义，接触到｜Z｜，｜Z－P｜，｜Z１＋Z２｜等时，就能比较自觉地联想到它的几何意义，从而掌握这些知…     

从复变函数论的角度看中学复数内容的教学

<正>一、大学复变函数论中的复数内容大学复变函数论教材以新知识的形式呈现复数的相关概念(实数、虚数、纯虚数、复数、复数相等、共轭复数)、运算法则,接着引出复数域、复平面的概念,通过数形结合加以说明.在此基础上引入复数的模与辐角,这是整个复数部分的重点,由于学生之前未接触过,加之辐角的多值性,此部分又是难点.首先,给出了复数三角不等式,两点间的距离公式;其次给出辐角、主辐角的定义及辐角的运     

备课需“心中有生” 教学要“目中有人”——从一个学生微弱的“声音”透视当下的教学现状

选修2-2第三章《数系的扩充和复数的概念》的教学中,当笔者与学生介绍完复数产生的背景及与复数概念有关的概念时,接着就举例巩固与复数概念有关的知识,如纯虚数、非纯虚数、两复数相等概念,其中举了这样一个例题:已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求xy的值.因为刚刚学过两复数相等的概念,对于其应用学生还是不知如何进行。     

动点轨迹的复数方程的几种求法

在高二数学“复数”这一章的学习中,如何在复平面内求动点Z的轨迹方程是复数知识的一个重点,也是一个难点.在复平面内,动点对应的是一对变化的实数,动点轨迹是实数方程f(x,y)=0;而在复平面内,动点对应的是一个变化的复数,动点轨迹的复数方程是f(z)=0.这两个方程在本质上是完全一致的,都是以数表示点,以方程表示曲线,但在形式上并不相同,所以在复平面内求点Z的轨迹可以利用、借鉴实平面内求轨迹的方法,还可以利用复数所具有的特殊性质另辟蹊径.下边略举几例说明求轨迹复数方程的一些方法.     

利用"商为纯虚数"的条件解题

设复数ｚ1和ｚ2 在复平面上所对应的点分别为Ｚ1和Ｚ2 ,则商 ｚ1ｚ2或 ＯＺ1ＯＺ2为纯虚数的充要条件是直线ＯＺ1⊥ＯＺ2 ,其中Ｏ为原点。恰当地利用这个充要条件并注意到向量的可平移性 ,可使许多问题的解决更为简明而有趣味。例 1　设ｚ为虚数 ,求证 :ｚ -1ｚ 1 为纯虚数的充要条件是 |ｚ| =1。证　设 -1、1、ｚ在复平面上分别对应点Ａ、Ｂ和Ｐ ,由条件Ｐ不与Ａ、Ｂ重合 ,|ｚ| =1 ,当且仅当Ｐ在以ＡＢ为直径的圆上 ,当且仅当ＡＰ⊥ＢＰ ,当且仅当向量之比 ＢＰＡＰ为纯虚数 ,即复数 ｚ-1ｚ 1 为纯虚数。注　本题是一道经典题。上述证明…     

高三数学“复数”章教学问答

31　“复数”“虚数”这两个名词的来历是怎样的 ?答 :“复数”“虚数”这两个名词 ,都是人们在解方程时引入的 .为了用公式求一元二次、三次方程的根 ,就会遇到求负数的平方根的问题 .1 54 5年 ,意大利数学家卡丹诺 (ＧｉｒｏｌａｍｏＣａｒｄａｎｏ,1 50 1年～ 1 576年 )在《     

复数

课时一　复数的概念及其向量表示 基础篇 诊断练习一、填空题1.正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理数集Q、实数集 R、复数集 C之间有包含关系 .2 .复数 z =a +bi( a、b∈ R) ,当且仅当时 ,z为实数 ;当且仅当时 ,z为虚数 ;当且仅当时 ,z为纯虚数 .3.如果 a、b、c、d∈ R,那么 a +bi =c +di .两个复数不全为实数时 ,不能比较它们的大小 ,只能为 .4 .建立了复平面后 ,复数 z =a +bi( a,b∈ R)与复平面上的点 Z( a,b) ,与复平面内以原点 O为起点 ,点 Z( a,b)为终点的向量 OZ .向量 OZ的长度叫做 ,记为 |z|,故有 |z|=|OZ|=.二、选…     

代数学简史（五）

第六部分　代数的形成及发展1　代数的发现1.1　复数的产生　如前述知卡当是第一位引入类如 5+- 15,5- - 15的复数的人 .接下来Ｂｏｍｂｅｌｌｉ(蓬贝利 )用ｐｉｕ` ｄｉｍｅｎｏ及ｍｅｎｏｄｉｍｅｎｏ代表ｉ与 -ｉ.162 9年ＡｌｂｅｒｔＧｉｒａｒｄ把ａ± -ｂ这种数叫做不可能的解 .而虚数词是笛卡尔 ( 1637)引用的 .此后数学家们自由地使用虚数 .比如Ｂｅｒｎｏｎｌｌｉ(柏努利 )用复数的对数 ,欧拉还得到著名的公式 :(Ｃｏｓｘ+ｉＳｉｎｘ) ｎ =Ｃｏｓｎｘ +ｉＳｉｎｎｘ欧拉还把复数看成平面上一点 ,并引入了极坐标ｒ ,φ ,确定了它们…     

注意培养学生正确灵活的“数”和“形”转化的能力

平面解析几何是用代数方法来研究平面几何问题的一门数学学科。在高中平面解析几何课本的引言中,明确地规定了中学阶段“平面解析几何研究的主要问题是:①根据已知条件,求出表示平面曲线的方程。②通过方程研究平面曲线的性质”。实际上,建立了坐标系后,平面上的“点”被“数”化了,即点与有序数对建立了对应。从而,作为点集的“曲线”也被“数”化了,即曲线被表示为方程。“数”、“形”关系沟通后,     

Y轴不等同于虚轴

Ｙ轴不等同于虚轴江苏王志成职高《数学》（文理通用）第一册第七章复数的概念一节中关于虚轴的定义笔者认为欠妥。原文；“在复平面内Ｘ轴上的点可用来表示实数，Ｘ轴叫做实轴。除去原点的ｙ轴上的点．可用来表示纯虚数．ｙ轴叫做虚轴，原点Ｏ属于实轴，且属于虚轴。”这...     

扩充数系，拓展天地

形如a＋bi（a,b∈R,i是虚数单位,i^2=-1）的数叫做复数.复数z=a＋bi{实数（b=0）虚数（b≠0）（当a=0,b≠0时为纯虚数）,也即把实数扩充到了复数范围．对于复数,要注意以下几点：