一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.     

巧用对称求最值

例1若a,b,c〉0,且a（a＋b＋c）＋bc=4—2√3,求2a＋b＋c的最小值． 解由已知b,c位置对称,当2a＋b＋c取最小值时,b=c成立,此时     

多法破解一道希望杯赛题

题目若a,b是正实数,且a＋b=2,则1/1＋a＋1/1/＋b 的最小值是_. （第23届“希望杯”高一1试14题）本题主要考查考生利用二元均值不等式求最值及灵活应用所学知识解决问题的能力．本文给出多种解法,以开拓同学们视野．     

一道IMO试题的类比拓广及简解

（第22届IMO试题）设P为三角形ABC内任一点,P到三边BC、CA、AB的距离依次为d1、d2、d3,记BC=a,CA=b,AB=C,求u=a/d1＋b/d2＋c/d3的最小值．     

配方法应用七例

例1已知a,b是正实数,且a＋b=2,则1/1＋a＋1/1＋b的最小值是——．     

一类分式函数最小值的求导处理及推广

函数f（x）=a/x-c＋b/d-x（a,b,c,d∈R^＋,c〈x〈d）,求其最小值,文[1][2]采用均值不等式或三角换元变换去求解,     

四法求解含绝对值的最值一例

例已知a,b,C均为实数,且a＋b＋c=0,abc=2,求｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值．     

对一道考题的探究

题根 已知a、b＞0,并且a＋b=1,试求（1＋1/a）·（1＋1/b）的最小值. 分析 这是一道看似平淡无奇,实则是一道耐人寻味的好题,经常作为高考复习的模拟测试题,或被选入各类竞赛的试题.本文拟探索此考题的多种方法,多种变式与多种推广.     

构造定积求最小值

我们经常见到如下求最小值的问题: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求y=1/a 2/b的最小值. 这个问题有很多解法,其中下面的解法最简练,并且具有一般性:y=(1/a 2/b)(a b)=1 b/a 2a/b 2≥3 2√2,当且仅当b/a=2a/b,即b=√2a时取等号,此时a=√2-1,b=2－√2,ymin=3 2√2.     

一道奥赛题的简证

题目（第三届北方数学奥林匹克邀请赛）已知ΔABC的三边为a、b、c,且满足a＋b＋c=3,求f（a,b,c）=a2＋b2＋c2＋4/3abc的最小值.文[1]给出了一种新的证明,笔者觉得技巧性较强,不够自然.下面笔者再给出一个自然简单的证明.     

错解·正解·妙解

题 已知a,b∈R^+，且a+b=1，求y=(a+1/a)(b+1/b)的最小值．     

且看求椭圆最值

1．寻求a,b,c的关系 例1 若A、B为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉c）的长轴两端点,Q为椭圆上一点,∠AQB＝120°,求此椭圆离心率的最小值 。     

一道最小值问题的探究历程

问题已知a＋2b=6,则√a2/4＋1＋√b2^＋9的最小值是（）     

一题多解，探根溯源

题目 已知函数f（x）=x^2＋ax＋1/x^2＋a/x＋b（x∈R,且x≠0）,若实数a,b使得f（x）=0有实根,求a^2＋b^2的最小值.（2014年高中数学联赛贵州赛区） 1．一题多解 分析 令t=x＋1/x,则t∈（-∞,-2]∪[2,＋∞）,于是 方程f（x）=0,即t^2＋at＋b-2=0（｜t｜≥2）.（＊）     

2005年全国联赛加试第二题的另解

题目设a、b、c、x、y、z〉0满足 cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c. 求函数 f（x,y,z）=x^2/1＋x＋y^2/1＋y＋z^2/1＋Z的最小值．     

用辅助量解题三例

例1 已知a/2=b/3=c/4,求分式3a-2b＋c/a＋b＋c的值.     

错解 正解 巧解 妙解

题目已知a、b、x、y∈R ,其中a、b为常数且a≠b,a/x b/y=1, 求:u=x y的最小值. 错解     

一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

尊重学生思维过程，因为他们时刻在创造

试题已知a、b∈R，且关于X的方程x4＋ax3＋2x^2＋bx＋1=0有一个实根，求a^2＋b^2的最小值．     

一道联赛题的错解探因与另解

2005年全国高中数学联赛加试第二大题为：设正数a、b、c、z、y,z满足cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c．求函数f（z,y,z）=x^2/1＋x ＋ y^2/1＋y ＋ z^2/1＋z的最小值．