对一道放球问题解法的质疑和探究

1 问题的提出 由某省招办组织专家编写的考前数学样卷第(16)题: 设3个相同的球随机地放在编号分别是1、2、3、4的4个盒子中,ξ表示有球盒子的编号的最小值(例如,ξ=2表示1号盒子没有球,2号盒子里有球,3、4号盒子内可能有球也可能无球).     

隔板法与组合计数

1．球入盒问题 例1把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,问有多少种不同的装法．     

解决排列组合问题的九种方法

排列组合是高中数学的重点和难点内容之一,也是求解概率问题的基础。排列组合问题不仅内容抽象、题型多样,而且解法灵活,不易掌握。解答排列组合问题时,要注意分析题型类别,抓住问题的本质,采取恰当的方法来处理问题。下面介绍求解排列组合问题的常用方法,供大家学习时参考。一、为数不多问题枚举法例1设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子,现将这5个球投入5个盒子,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?分析先选出球号和盒子号相同的两个号码,有C₅²     

浅谈隔板法的应用

1　基本应用隔板法是插空法的一种特殊情况 ,能解决一大类组合问题 ,请看以下典型问题 :例 1　 9个相同的小球放到 6个不同盒子里 ,每个盒子至少一个球 ,有多少种不同的放法 ?解析　法 1:先在盒子里各放一个球 ,再把剩下的 3个球放到 6个盒子里 ,分三类 :① 3个球放到一个盒子里 ,有C1 6 种放法 ;② 3个球放到 2个盒子里 ,球数分别为 2 ,1,共A26种放法 ;③ 3个球放到 3个盒子里 ,每个盒子各 1个球 ,共C36 种放法 .根据分类计数原理 ,共有C1 6 A26 C36 =5 6种放法。法 2 :把 6个盒子看作由平行的 7个隔板组成的 .每一个满足要求的放法都…     

“小球投盒”问题全攻略

在排列组合问题中，其中一类问题可以归纳为：将N个球放入m个盒子中（盒子和球都可以选择是否相同，盒子可以选择是否为空），本文对这类问题进行详细探讨．     

计数中的多项式思想例说

数学中的知识是相互联系的,通过问题的转换,其解决问题的方法可能会差别很大,涉及到不同的数学思想方法.下面通过例题加以说明.例1在一个盒子中有2个相同的白球,2个相同的黑球和5个相同的蓝球,现要从盒子中取出6个球,共有多少种不同的取法?     

抽屉原理及其应用

抽屉原理可叙述如下:将n 1个球放入n个盒子中,则至少有一个盒子中装的球数不少于两个。 证明 若每个盒子中最多装一个球,则n个盒子中总共最多只能装n个球,但这n个盒子中共有n 1个球,这是一个矛盾。 抽屉原理还可推广为更一般的形式:设m_1,m_2,…,m_3都是正整数,若将sum from i=1 to n(m_i-(n-1))个球放入n个盒子中,则:第一个盒子中至少放入m_1个球,或第二个盒子中至少放入m_2个球,… ,或第n个盒子中至少放入m_n个球,这n种情形中至少有一种情形必然发生。 证明 若第一个盒子中装的球数少于m_1个,第二个盒子中装的球数少于m_2个,…,第n     

想想算算

巧分“5”字右图中有１８个“５”，现在要把图分割成形状相同、面积相等的６小块，使得每小块都有３个“５”。请你动脑动手分一分。盒子里有几个球小王的盒子里装有若干个球。拿出３个以后，其余所有的球都是红球；５５５５５５５５５５５５５５５５５５拿出３个以后，其余所有的球都是绿球；拿出３个以后，其余所有的球都是黑球；拿出３个以后，其余所有的球都是白球。请你说说盒子里有几个球？有多少运动员青青参加一次游泳比赛。比赛那天他和所有参加比赛的人都握了一次手，以示友谊。他记得一共握了５０次手。问参赛的运动员有多少人…     

“老师，这仅是巧合吗？”——从听一节高二习题课谈起

以下是我听课经历的一节高二习题讲评课的一个片断，开课老师出示问题：盒子中有大小相同的10个球，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒中任取1个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为X．[第一段]     

例析排列组合中的球与盒子问题

在排列组合问题中有这样一类问题,把一些小球投入到几个盒子中,给出一定的限制条件,求有多少种不同的方法.下面分类例析,希望对提高同学们的解题技能能够有所帮助.一、m个不同的球放入n个不同的盒子此类问题中球必须都放进盒子,因此按球分步.把"一个球放进盒子"作为第一步,共分m步,每一步都有n种不同的放法,所以把m个不同的球放入n个不同的盒子,共有nm种不同的放法.求解此类问题的关键在于分清谁是球,判断的标准为"球"必须都放完.     

例谈可重复组合模型的应用

所谓重复组合,是指元素允许重复使用的组合．一般地从n个不同元素中取出m个元素的重复组合数通常用Hn^m表示．其相应的数学模型是：把m只相同颜色的球放到n个编号不同的盒子中,而且每个盒子放球数不加限制,其放法总数为Gn m-1^m     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助“档板法”来处理的.例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?解析把10个小球一字排开,中间有9个空位,若从中任取2个空位插上档板,则可把这10个小球分成3份,每份至少1个小球,将每个盒子对应取其中1份,恰好满足题意的要求,所以共有C92种不同的分法.这方法虽巧,但有局限性,即有“每盒子至少分到1个小球”的要求.如果没有了这样的要求,该如何处理呢?例2将10个相同的小球分到3个不同的盒子中,共有多少种不同的分法?解析该题是在没有任何限制的…     

小球同与不同的辩证法——由《小球放法起波澜》想到的

例1 将三个完全相同的球随机地放人编号为1,2,3,4的四个盒子里,要求编号为1的盒子里有球,不同的放法有多少种？     

开放“学习通道”才能开放思维

小学数学“9加几”的加法是“20以内进位加法”的起始课。教学这部分内容，过去是引导学生先将盒子外的2个球分成1和1，拿出1个球放进盒子里，把盒子里的球凑成10个，再与盒子外的1个球相加，得到有11个球的结论。然后让学生通过用小棒代替球来分一分、摆一摆，具体感知“分”和“凑”的过程。最后根据学     

看清问题 用好隔板

例1 将7个相同的小球分装到3个不同的盒子中，每个盒了举少分到1个小球，共有多少种不同的分法？     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

“可能性”教学设计与评析

〔教学目标〕通过体验、猜测、实验,了解简单随机事件的可能性。〔教学过程〕一、设景、体察,感受结果的“可能性”1.互动比赛(摸球):教师的讲台上有两个盒子,里面各有8个乒乓球,教师在第一个盒子里摸球,请一个同学在第二个盒子里摸球,谁摸到白球为胜。结果教师每次都摸到了白球,而学生有时摸到的是白球,有时摸到的是黄球。(学生不服气)(1)提问:为什么老师总是会摸到白球?(2)搜索学生答案。(生1:因为老师摸球前先摇摇盒子再摸,所以会赢。生2:老师看到了盒子里的白球。生3:我猜想老师的盒子里可能都是白球。)(3)打开盒子,将球取出分别放入两…     

例说递推法在排列组合中的应用

<正>问题一同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡的不同分配方式有多少种．问题二设有编号为1、2、3、4的4个球和编号为1、2、3、4的4个盒子,现将这4个球放入这4个盒内,要求每个盒子中各放一个球且球的编号与盒子的编号不同,有多少种放法．     

"可能性"教学片段与评析

【教学内容】义务教育课程标准实验教科书《数学》(人教版)三年级上册。【片段一】教学"不可能"。师:老师这里有个盒子,盒子里面放了一些球,只要你能从盒子里面摸出黄球,就有一份奖品。摸球的规则是:每次只能摸出一个球,摸完之后再放回去。     

排列组合中球与盒子模型的应用题

在解决排列组合问题时,常常会遇到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来有一定困难,而且还有很多问题可转化为球与盒子的问题.本文就此谈几点模型的归纳及应用方法. 模型一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.这类问题实质上是一个重复排列的问题,可以用分步计数原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有nm种不同放法.