矩形的一个性质及其推广

命题平面内的任意一点,到该平面内一矩形的两个相对顶点的距离的平方和,与它到另外两个相对顶点的距离的平方和相等.     

关于长方体外接球的几个不变量

文给出了矩形外接圆周上点的两个有趣性质: (1)矩形外接圆周上任一点到各顶点距离的平方和为8R~2; (2)矩形外接圆周上任一点到各边中点距离的平方和为6R~2(R为外接圆的半径)。 本文将这两个结论由平面推广到空间,     

关于圆内接闭折线的一个轨迹命题

文献[1]中有下面的一个轨迹命题:命题平面内到已知闭折线的各顶点的距离的平方和为定值的点的轨迹,是以这闭折线的重心为圆心的一个圆.反过来,如果一条闭折线的各顶点是定圆上的动点,且各顶点到平面内一定点的距离的平方和为定值,那么这条动闭折线的重心的轨迹是什么?本文将证明,这条动闭折线的重心的轨迹是一条线段,即有定理1 若闭折线的各顶点均为定圆O     

矩形的一个优美性质及其应用

<正>本文向读者介绍矩形的一个优美性质,并从几何、代数、向量等角度给出多种证法,最后举例说明性质在解决有关数学问题中的应用.1矩形的一个优美性质性质矩形所在平面内任意一点到不相邻的两个顶点的距离的平方和相等.已知:点P是矩形ABCD所在平面内任意一     

三角形中的三个最值问题

众所周知,到三角形三个顶点的距离之和最小的点是费尔马点,到三角形三个顶点的距离的平方和最小的点是三角形的重心.那么,三角形中到三边距离之积最大的点,到三边距离平方和最小的点,到三边距离之和最小的点又是什么点呢?笔者对此作了一番探索.下面的三个定理回答了这一问题.     

关于球内接多面体的一个轨迹命题

文[1]得到了一个关于圆内接闭折线的一个轨迹命题:命题若闭折线的各顶点均为定圆 O 上的动点,且各顶点到平面内一定点 P(异于圆心O)的距离的平方和为定值,则这条动闭折线的重心的轨迹是圆 O 的一条弦,这条弦与 OP 互相垂直.本文将该命题推广到球内接多面体中.     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

是否简明些

高级中学课本《立体几何》(甲种本)第52页20题:平面α过△ABC的重心G,求证:在平面α同侧的两个顶点到平面α的距离的和等于另一顶点到平面的距离。人民教育出版社1983年9月第一版,     

1989年第2期问题

181.求证:梯形两条对角线的平方和小于它的四条边的平方和。(安徽黄全福供题) 182.三角形外接圆上任一点到三个顶点的距离平方和为常量,求证此三角形是正三角形。(山东汤永臣供题) 183.设两锐角x、y适合sin~(10/7)x sin~(13/3)y=sin~3(x y),求证x y为锐角。 (江西漆效群供题)     

点到平面距离的几种求法

求点到平面的距离是高考热点问题,直线与平面间的距离,两平行平面间的距离,都可以转化为点到平面的距离来解决.下面介绍几种点到平面的距离的求法.一、直接法1.利用空间图形的性质寻求垂足的位置,直接向平面引垂线,构造三角形求解.例1已知ΔABC,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,ΔABC所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14,求点P到α的距离.     

一个重要轨迹的证明及推广

我们知道,正多边形外接圆上任意一点,到各顶点的距离平方之和为定值。那么,其内切圆上的任意点是否如此？其它国是否如此？其逆命题又如何？本文将通过一个轨迹问题,给出上面诸问的一般结论。定理1：平面内到n个定点的距离平方之和为定值的点的轨迹是四。证明：没坐标平面xoy内的n个定点为Al（xi,yi）（i=1,2…n）动点P（x,y）到各点的距离平方和为a2,即,则配方整理为：注意到该n个点集的重心G的坐标是②式中右端的各项均为定值,故P点的轨迹是个国（也可能是点回或虚圆）。其圆心是该点集的重心。证毕。特别地,若选择点集的重…     

一道立几题目的推广

在现行教材高中《立体几何(甲种本)》第一章复习参考题B组中有这样一个题目: “平面α过△ABC的垂心G,求证在平面α同侧的两个顶点到平面α的距离之和等于另一顶点到平面α的距离。”此题的证明并不复杂,只须     

一类正三角形面积的一般公式

“已知定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、n、k，求这个正三角形的面积．”在竞赛题和训练题中常出现这类问题的特例或与之有关的变通题，现将此类正三角形面积的一般公式介绍如下．定理在平面上，如果定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、。、k，且任意两个距离之和不小于第三个距离，那么（Ⅰ）、当任意两个距离之和大于第三个距离时，满足条件的正三角形有两个，它们的面积是（Ⅱ）、当某两个距离之和等于第三个距离时，满足条件的正三角形只有一个，其面积是证明：不妨设（Ⅰ）、当n＋k＞m时，有定点P在正面ABC的外接圆内或外两…     

三角形中有关距离的极值问题

对等腰三角形,得到了到各顶点距离之和的最小值点必在底边的中线上;对一般的三角形,获到了到各顶点距离平方和的最小值点就是三角形的重心.在证明中,把初等几何,解析几何及微积分等方法,有机地结合起来了.     

三角形中有关距离的极值问题

对等腰三角形，得到了到各项顶点距离之和的最佳值点必在底边的中线上；对一般的三角形，获到了到各顶点距离平方和的最小值点就是三角形的重心。在证明中，把初等几何，解析几何及微积分等方法，有机地结合起来了。     

关于矩形的两个定理及其应用举例

在数学竞赛中多次出现“已知平面内一点到矩形三个顶点之距求它到第四顶点之距”的问题。如: 矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5,求PD的长(1982年上海市初中数学竞赛试题)。我们提出如下命题矩形内任一点到两双相对顶点的距离的平方和相等。证明1:如图1,设P为矩形ABCD内任一点,过P作EF⊥AD,则EF⊥BC。于是,由勾股定理,得 PA~2+PC~2=(PE~2+AE~2)+(PF~2+CF~2) =(PE~2+BF~2)+(PF~2+DE~2) =(PE~2+DE~2)+(PF~2+BF~2) 证明2:连AC、BD设交于O,连PO,在△PAC中。由中线公式(或平行四边形的性质)有2(PA~2+PC~2)=AC~2+4PO~2或PA~2+PC~2=1/2AC~2+2PO~2。     

正多边形外接圆性质的推广

命题1 正n边形的各顶点到其外接圆 任一切线的距离平方之和为一定值,且等于圆半径平方的[(3/2)π]倍。 可建立如图所示的坐标系用解析法证之(略)。 命题2 正四面体各顶点到其外接球上的任意一点的距离的平方和为一定值,     

"费马点"数学模型在中考中的应用

法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论: 结论1 三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.     

利用直角坐标系求面积

平面直角坐标系是研究数形结合问题的最好工具,根据坐标平面内顶点的坐标求图形面积,很好地体现了几何问题的代数解法.下面就举例说明如何利用平面直角坐标系来求图形的面积,希望对同学们有所启示.一、坐标平面内三角形面积的求法1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,3),C(0,-1).求△ABC的面积.分析与解:根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上,所以BC=4,点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离,也就是A点的横坐标的绝对值,所以S△ABC=12BC·AO=12×4×3=6.2.…     

如何确定点或直线在平面上的射影位置

点或直线在平面上的射影位置是立体几何中的基本问题 ,许多立体几何问题往往都需要归结为确定点或直线在平面上的射影 .确定点或直线在平面上的射影没有一个统一的方法 ,主要是根据有关的定理或结论 .下面是几个常用的结论 .1 两平面垂直时 ,一个平面内的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上 ;2 如果平面外一点到平面内一个角的两边距离相等 ,则该点在这个平面上的射影在这个角的平分线上 ;3 平面外一条直线 ,如果经过平面内一个角的顶点 ,而且与这个角两边成等角 ,则这条直线在平面上的射影是这个角的平分线 ;4 若三棱锥的三条…