五种方法求点到平面距离

在立体几何问题中,求点到平面距离问题屡见不鲜,总结求点到平面距离五种不同的方法,将增强我们解决此类问题的信心,提高解立体几何问题的能力,下面让我们一起来认识这五种方法.一、用点到平面距离的定义求例1已知三棱锥S-ABC中,AABC是边长为2的等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,那么点A到平面SBC的距离为___．     

点P的存在性在一类最值问题中的应用与推广

<正>最近笔者有幸加入了中学数学杂志群,群里云集了全国各地高水平的数学教师,在交流讨论这样一道题目.呈现如下:原题如图1所示,已知等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=CB.点P为三角形ABC所在平面内任意一点,且PA=1,PB=2,求PC的最值.解析本题的条件是三角形ABC为等腰直角三角形,且PA=1、PB=2.易知,三角形ABC确定形状,但其大小不确定.本题的问题是求PC的最值,然而点P的位     

利用直角坐标系求面积

平面直角坐标系是研究数形结合问题的最好工具,根据坐标平面内顶点的坐标求图形面积,很好地体现了几何问题的代数解法.下面就举例说明如何利用平面直角坐标系来求图形的面积,希望对同学们有所启示.一、坐标平面内三角形面积的求法1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,3),C(0,-1).求△ABC的面积.分析与解:根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上,所以BC=4,点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离,也就是A点的横坐标的绝对值,所以S△ABC=12BC·AO=12×4×3=6.2.…     

求点到平面的距离五法

一、利用点到平面的距离的定义 例1 如图1．已知三棱锥S-ABC中．△ABC是边长为2的等边三角形．SA⊥平面ABC,SA=3,那么点A到平面SBC的距离为——．     

例说求解立体几何问题的10类方法

<正>一、射影在求解立体几何问题时,若能紧紧抓住"线"在"面"内的射影,则可顺利求解线面角;若能抓住"面"在"面"内的射影,则可使求解无棱二面角的问题变得简单容易.例1如图1,已知等腰三角形ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,ABC所在平面外一点P到三角形顶点的距离都等于4,求直线PB与平面ABC所成的角.     

费尔马问题的最小值公式

1 费尔马问题 A、B、C是平面上不共线三点,求一点P使距离之和l=PA PB PC达到最小值。 对此问题已经证明了:当ΔABC的内角有不小于120°时,P应选在最大内角的角顶;当三角形的内角均小于120°时,P应处于∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的位置上。点P称为费尔马点。 本文用数形结合的思想方法,给出费尔马最小值的解析表达式,同时给出l=PA PB PC的图形。     

勃罗卡点到三角形各顶点的距离公式

如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点,据有关文章介绍,任意一个三角形都有两个勃罗卡点和两个勃罗卡角,本文拟给出勃罗卡点到三角形各顶点的距离公式,及包括勃罗卡角计算公式在内的几个重要结论。定理已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,设PA=x,PB=y,PC=z,则     

两类几何题的求解方法

在初中数学竞赛中,对于下面两类试题,学生往往难于着手,实际上,利用图形的旋转变换,常能得出简捷的解法.一与正三角形(或其外接圆上)一点有关的几何命题,常可用三角形的旋转变换来解决.例1 P 是正ΔABC 内一点,且 PA=5,PB=4,PC=3,求ΔABC 的边长.(浙江省第     

点的射影定位的探讨

在求空间角、空间距离时,常需要考虑图形定位问题,其关键往往是确定点在线或面上的射影位置,这也是解立体几何题的一个难点.本文就立体几何解题中点的射影定位问题作些探讨.　　一、观察图形,直接定位有些立体几何问题,只要通过观察其直观图,利用常见的几何特性即可顺利确定,这类题可以采用直接定位.图1例1 　(2004·福建19)在三棱锥S ABC 中,△ABC是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 3,M、N分别为AB、SB的中点.(1)求二面角N CM B 的大小;(2)求点B到平面CMN 的距离.　　 解析 　(1)欲求二面角N CM B 的大小,…     

“三线”教你解三角

三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解"三线"的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用,因此地位尤为突出.一、三角形角平分线的用法用法1直接应用角平分线的性质例1如图1,点I是ΔABC的内心,AI交ΔABC的外接圆于点E,交边BC于点D,连接BE.求证:EB=EI.     

体积的应用

一、求距离我们知道直线和平面间的距离以及两个平行平面间的距离都是通过求点到平面的距离而获得的。而两条异面直线的距离往往也是转化为直线和平面间的距离或两个平行平面间的距离。因此求点到平面的距离就成为求距离的重要手段了。这里我们用体积的办法求距离。例1.如图,在单位正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,求点A与平面A_1BD的距离。考虑三棱锥A_1-ABD其体积为1/3 1/2 1·1·1=1/6。如果以A为顶点A_1BD为底面,则设其高为x,而S_(△A1BD)=(3~(1/2))/4((2~(1/2))~2=(3~(1/2))/2 例2棱锥S-ABC的底面是边长为4(2~(1/2))的正三角形ABC,侧棱SC垂直于底面所在平面,长为2。有一条直线过S点和棱BC的中点,另一条过C点和棱AB的中点,求此两条异面直线的距离。证:如图     

三角形中勃罗卡点到三顶点距离的几个不等式

设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角．关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式．为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B,     

用构造法解数学题

一、构造图形解题例1 在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,D是平面ABC内的一点,点D到平面PAB、平面PBC、平面PAC的距离分别是3、4、5.求点P到D的距离. 解析如图所示,利用点D到三个平面的距离的特点来构造长方体,把所求问题转化为求长方体的对角线的长.     

以空间图形为背景的轨迹问题例析

例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—…     

对一习题的看法

现行六年制重点中学课本《立体几何》有这样一道习题:平面ABC外一点P到三角形ABC三边的距离相等,O是三角形ABC的内心,求证:QP⊥平面ABC.(P.52习题第18题(2))本人认为:这个命题是错误的.其原因是在"平面外一点P到△ABC三边的距离相等"之条件,不一定能推出QP⊥平面     

求点面距离的几种方法

由于线面距离及面面距离常转化为点面距离来求,异面直线的距离有时也转化为线面距离,进而转化为点面距离求解,所以点面距离的求法是学习的重点,学生必须掌握. 一、定义法构造垂面,利用面面垂直性质作出点面距离来求. 例1 (1993年上海高考题24题改编)已知二面角α-PQ-β为60°,点A和B分别在平面α和平面β上,点C在棱PQ上,∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,求点B到平面α的距离.     

有关三角形极值点的两个命题

本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1　到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2　到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条…     

勃罗卡点的两个新性质

命题设点 P 是ΔABC 的一个勃罗卡点,满足∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ,点 P′是ΔABC 所在平面上的任意一点,a、b、c 分别是ΔABC 中∠A、∠B、∠C的对边.则     

点到平面距离问题的转化策略

求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点.这类问题是立体几何中最为灵活与典型的一类题型,其中渗透着许多数学思想与方法.常见的求解方法有直接法、转化法等,本文遴选典型一例,通过对其多种解法的探讨,借以说明此类问题探求途径.图1例题如图1所示,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求B到平面EFG的距离.1平行转移法理论依据1直线m∥平面α,则直线m上所有点到平面α的距离相等.分析由于BD∥平面GEF,将B点到GEF的距离转化为BD上另一点(…     

垂直平面法求距离例说

求距离是立体几何中的一类重要的计算问题,在诸多的求距离中,一般都可归结为求两点间的距离,即求一点到它在一已知平面上的垂足间的线段的长度。而对于垂足的定位问题往往是解题的关键,运用垂直平面法可使问题得到简便解决。一般步骤为:在求解有关距离的题目时,作出或找出一个平面,使它包含所求线段(距离)又和平面α垂直(α为已知或作出的包含满足题设条件的部分图形的平面),然后在垂面中解有关三角形,得出所求的结果。