用向量法求空间距离的五条定理

求空间距离(点到平面距离、直线与之平行的平面间的距离、两平行平面间的距离、点到空间直线间的距离,两异面直线间的距离)的问题是立体几何中常见的一种题型,其解题步骤一般是:一作、二证、三计算.即:(1)找出或作出有关的距离;(2)证明它符合定义;(3)归到某三角形中计算.解这种题型的困难之处在于如何作出该距离,而作出这距离的方法又因题而异,从而增加了解题的难度.是否存在一种既简单又通用的解法呢?     

立体几何中的转换思想——谈空间距离的求法

立体几何是研究点、直线、平面的性质及其位置关系的,在解题过程中经常会遇到求距离的题目,概括起来不外乎以下几种:(1)求两点间的距离;(2)求点到直线的距离;(3)求点到平面的距离;(4)求两条异面直线间的距离;(5)求直线和平行平面间的距离;(6)求两平行平面间的距离.     

异面直线距离的六种求解策略

空间距离可分解为七种:两点间的距离,点到直线的距离,两平行线间的距离,两异面直线间的距离,点到平面的距离,平行于一个平面的直线到此平面的距离,两平行平面间的距离。这七种求法基本上都是转化两点间的距离来求,因此,会求空间两点间的距离是基础,求点到直线和点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点。本文提供求异面直线距离的几种策略,以突破难点。     

用空间向量法求距离问题

立体几何中的求距离，是高考中的命题热点．空间的距离包括两点间的距离；两条平行直线的距离；两条异面直线间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到它的平行平面的距离；两个平行平面之间的距离以及球面上两点之间的球面距离．其中重点是两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离及两异面直线间的距离，这些距离的计算是立体几何中的一个难点．引入向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利．     

从解两道立体几何题看解析法的优越性

立体几何中求两条异面直线的距离和求两个平面的二面角的问题往往是比较困难的.这里介绍两个定理,可作为解以下两道立体几何问题的依据.定理1.两条异面直线 a、b 的距离,就是 a 到过 b 而平行于 a 的平面的距离.定理2.两个平面间的二面角的平面角与两平面的垂线所成的角相等或互补.这两定理的证明不难,请读者自证.一、下面首先介绍求两条异面直线距离的三种方法.已知:三棱锥 S-ABC,底面是边长为4 2~(1/2)的正三角形,棱 SC 的长为2,且垂直于底面,E、D 分别为 BC、AB 的中点.     

例谈点到平面的距离的求法

空间距离问题包括点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离.求点到平面的距离是重点,常用的方法有定义法,向量法和等体积法,下面举例说明.     

例谈点到平面距离的求法

在学习高中立体几何的过程中,经常会遇到求:①两条异面直线间的距离,②互相平行的直线和平面间的距离,③互相平行的两个平面间的距离,④平面外一点到该平面的距离．在解题过程中,我们均可以把问题①②③转化成问题④,即转化成“求点到平面的距离”．     

空间距离全解——由一道教材习题谈起

空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量.空间距离的求解是高中数学的重要内容,也是历年高考考查的重点.空间距离主要包括:(1)两点之间的距离;(2)点到直线的距离;(3)点到平面的距离;(4)两条平行线间的距离;(5)两条异面直线间的距离;(6)平面的平行直线与平面之间的距离;     

利用公式d=|·|/||求距离

“距离”是立体几何中的两大度量(即角与距离)之一,传统的解题思路是“一作、二证、三计算”.立体几何中的“八大距离”,除球面距离及两点间的距离外,其余六种距离都与垂直有关,即与点在直线或点在平面上的射影有关.但有时点的射影的位置难以确定,这给求距离时的作图带来了很大困难.在学习了空间向量后,利用向量的方法求距离可以大大简化解题过程.公式d=｜a粌·n粓｜｜n粓｜表示a在n上的投影的长度,可利用其求“八大距离”中的三个基本距离:点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离。一、求点到直线的距离求点P到直线b的距离:设A是…     

例谈用空间向量求解立体几何问题

用空间向量可解决立体几何问题有:(1)直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的位置关系等;(2)空间角的计算,空间角即是异面直线所成的角,直线与平面所成的角及平面与平面所成的二面角等;(3)空间距离的计算,通常是点到平面的距离、异面直线间的距离和平行平面间的距离等。空间向量法的关键是建立空间直角坐标系,以便     

两条异面直线间距离的求法

两条异面直线的定义及异面直线所成的角、距离是高考的重点也是难点,下面介绍几种异面直线间距离的求法。 (1)过两条异面直线中一条做一平面与另一直线平行,把两条异面直线间的距离转化为求直线到平面的距离。(直线与平面平行) 例1、一圆台上底面半径OA=r,下底半径O_1B=2r OA⊥O_1B,求圆台的轴OO_1与AB的距高。     

怎样求点到平面的距离

在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考.     

浅析一道几何题的多种解法

空间的距离包括两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两直线间的距离(两平行直线间的距离和两异面直线间的距离)、平行直线与平面间的距离、两平行平面间的距离．在上述7种距离中,两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何的知识,可用平面几何方法求解．平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为点面间的距离．所以7种距离中真正要花力气研究的仅仅是点面间的距离和异面直线间的距离．而异面直线间的距离的求解又是学习的难点．下面通过一道课本习题给出异面直线间的距离的多种求法:     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

空间距离的计算

空间距离主要指平面上两点间距离;球面上两点间距离; 点到直线的距离;点到平面的距离;平行直线间的距离;异面直线间的距离;直线和平面问的距离;两个平行平面间的距离.     

求“两条异面直线的距离”公式一则

求两条异面直线的距离是立体几何中一个很有意思的课题。解决这个课题所需的基础知识并不超过目前高中立体几何教材的要求,只是综合运用基础知识的要求略高一些。求两异面直线的距离通常的解法有:(1)直接根据定义求;(2)转化为平行的直线与平面间的距离求;(3)转化为两平行平面间的距离求,等等。以上这些解法,多数情况下要添作一些补助线,推导过程比较繁,图形又不易表达清晰,历来令学生们大伤脑筋。本文想导出一则求两条异面直线的距离的公式,以帮助同学们减少一些这方面的苦恼。设异面直线l_1、l_2,A、B为l_1上的两点,AO⊥l_2,     

直线平面 简单几何体

火眼金睛指点迷津本章知识分为两大部分,一是空间直线和平面,二是简单几何体.直线和平面是基本的几何元素.空间直线和平面的位置关系,是立体几何的基础知识.它包括线线共面(相交与平行)、线线异面;线面相交、线面平行、线在面内;面面相交、面面平行.空间距离与角是立体几何的重点内容,它包括空间“三角”——(异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角)和空间“八距”——(两点间距离、点线距离、点面距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、线面距离、面面距离、球面上两点间的距离).     

例谈用向量法解立体几何题

正立体几何中有一大类问题是度量问题,如长度(距离)、垂直、夹角等的计算或者证明,这些度量问题都可以通过向量的内积来解决,使得这些立体几何中的定理公式推导大为简化。特别是点与点的距离、点到直线、点到平面的距离、异面直线间的距离、直线与直线、直线与平面的垂直判定、两条直线(包括异面直线)的夹角、直线与平面的夹角、二面角等,运用向量解决上述问题时解法简洁、漂亮、独特,本文试举几例说明。一、求距离     

课时五 空间距离

反思与导入。对于空间距离，我们主要研究异面直线间的距离、点到平面的距离、直线和平面的距离以及两个平行平面的距离，其中核心问题是点到平面的距离，不管哪种距离，一般要先认定距离在哪里，再证明之，然后转化到平面图形中解三角形或用向量法处理等．同时注意转化思想的运用，比如求面面距离常转化为线面距离，再转化到点面距离来求．     

点到平面的距离的几种求法

在立体几何中,求点到平面的距离是一种常见的题型,其他如直线到平面的距离、平行平面间的距离以及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离来求解.因此,点到平面的距离在立体几何的距离问题中相当重要,下面举例说明点到平面的距离的几种求法.