正多边形与其同心圆有关的两个性质的指数推广

[1]中获得的主要结果是：正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各顶点的距离平方之和为定值;正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各条边的距离平方之和为定值．     

如何学好正多边形的有关计算

正多边形是一种特殊而又重要的图形,它涉及许多计算问题,不少同学对这部分计算望而生畏,错误频频.我们认为,学好本节内容应注意以下几个方面.一、正确理解正多边形的有关概念各边都相等,各角都相等的多边形叫做正多边形.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心,...     

一个重要轨迹的证明及推广

我们知道,正多边形外接圆上任意一点,到各顶点的距离平方之和为定值。那么,其内切圆上的任意点是否如此？其它国是否如此？其逆命题又如何？本文将通过一个轨迹问题,给出上面诸问的一般结论。定理1：平面内到n个定点的距离平方之和为定值的点的轨迹是四。证明：没坐标平面xoy内的n个定点为Al（xi,yi）（i=1,2…n）动点P（x,y）到各点的距离平方和为a2,即,则配方整理为：注意到该n个点集的重心G的坐标是②式中右端的各项均为定值,故P点的轨迹是个国（也可能是点回或虚圆）。其圆心是该点集的重心。证毕。特别地,若选择点集的重…     

正多边形和圆

一正多边形定义 各边都相等,各角都相等的多边形叫正多边形．如正三角形、正方形、正五边形、正六边形……正n边形．正n边形与圆的关系每一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且外接圆和内切圆是同心圆．它们的圆心叫正多边形的中心,外接网半径叫正多边形半径．     

正三角形的一个性质

定理 正三角形各顶点到其外接圆上任一点的切线的距离之和为定值。 证明 如图,过正△ABC各顶点作其外接圆切线构成正△A′B′C′。设P为外     

—个数学问题的变式探究

本文以一个与正三角形有关的数学问题为起点进行定值问题的探索．探讨了正三角形内切圆上任一点变为外切圆上任一点、形内任一点、内切椭圆上任一点以及问题的逆命题等定值问题,并对上述命题及其变式进行了推广．     

一个奇特的定值命题

通常的定值命题，如“正多边形内一点到各边距离之和为定值”，是图形不变，而点运动形成定值．有意思的是，笔发现一个定值命题是点不动，而图形发生改变形成的．     

既有外接圆又有内切圆的四边形存在条件及其性质

我们知道,任何一个正多边形都存在外接圆和内切圆且两圆同心。本文四边形内切圆和外接圆存在时,它的一些性质。Ⅰ.存在条件任何一个圆存在着任意多的内接四边形和外切四边形,但并非任意的一个四边形都存在内切圆和外接圆,那么什么情况下这种四边形才存在呢?为此先引进两个引理引理1:四边形有外接圆的充要条件是其对角互补。(证略) 引理2. 四边形外切于圆的充要条件是其对边之和相等。     

三角形的一个性质

笔者最近发现，三角形有一个性质，介绍如下，请伺行指正：定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于这个三角形外接圆与内切圆直径之和；钝角三角形垂心到两锐角顶点距离之和减去垂心到钝角顶点距离等于该三角形外接圆与内切圆直径之和．证明设三角形的三边为a、b、c，垂心为H，外接圆与内切圆半径分别为R和r．如图建立直角坐标系，则C（0，0）、A(b，0）、B（αcosCαsinC），无论是锐角还是钝角三角形，直线AH、BH的方程分别为由此得垂心坐标为应用距离公式，余弦定理及正弦定理得：于是，当△ABC为锐角三角形时|HA|注意到当△…     

建立直角三角形模型

一、正多边形中的直角三角形例1已知正六边形的半径是6,它的内切圆与外接圆的面积比是.解:正多边形的半径和边心距分别是它外接圆和内切圆的半径,以半径OA、边心距OB,边长的一半AB建立Rt△OAB.     

矩形外接圆周上点的有趣性质在三维空间中的拓展

文[1]证明了矩形外接国周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性，在二维空间（平面）上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法：把矩形和等对棱四面体（或长方体）类比，把圆周和球面类比，将这一性质拓展到三维空间中而获得颇为有趣的结论：定理等对校四面体外接球面上任一点到该四面体的各面三角形重心的距离的平方和为定值。何谓等对棱四面体，我们称三组对核分别相等的四面体为等对校四面体，过四面体每条校可作唯一平面平行于对棱，六个面围成…     

正三角形外接圆周上点的一个性质的应用

正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长必等于较短二之和.(图1)(证明略)     

第3课时 正多边形和圆

知识梳理 注意理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算的问题转变为解直角三角形的问题．了解用量角器等分圆心角的方法．会用直尺和圆规作圆内接正方形和圆内接正六边形．理解任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．且这两个圆是同心圆的知识．     

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

一个平面定值问题在空间的拓广

文[1]证明了矩形外接圆周上点的有趣性质:“定理:矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。 文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性,在二维空间(平面)上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法;把矩形和等对棱四     

启事

17世纪，意大利数学家维维安尼发现正三角形内的点具有一种非常美妙的性质，即维维安尼定理 正三角形内（或边上）的任一点到各边距离之和为定值，这定值等于该三角形的高．     

关于长方体外接球的几个不变量

文给出了矩形外接圆周上点的两个有趣性质: (1)矩形外接圆周上任一点到各顶点距离的平方和为8R~2; (2)矩形外接圆周上任一点到各边中点距离的平方和为6R~2(R为外接圆的半径)。 本文将这两个结论由平面推广到空间,     

双圆四边形中R与r关系初探

既有外接圆又有内切圆的四边形叫双圆四边形 ,它有很多优美的性质和结论 ,它的边角关系已有文献进行过全面的探索。本文运用托勒密定理探求了双圆四边形外心到各边距离之和ｈ与外接圆半径Ｒ及内切圆半径ｒ之间关系 ,进而推导出Ｒ与ｒ的关系。1　双圆四边形中外心到各边的距离之     

一个定值问题的引伸

命题1“等边三角形内任一点至三边距离之和为一定值”有几种证法,但以下面的证法较简便。证明:如图1,连结PA,PB,PC. ∵S_(△ABC)=S_(△PBC)+S_(△PCA)+S_(△pAB),∴S_(△ABC)=1/2BC·PD+1/2CA·PE+1/2AB·PF又 AB=BC=CA,∴ PD+PE+PF=2S_(△ABC)/BC. 等边三角形的这一性质可推广到等边凸多边形中,以上的证明实质上给出如下的定理1 等边凸多边形内任一点至各边的距离之和为定值。特殊地,正多边形内任一点至各边的距离之和为定值。     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是