帕斯卡三角在三项式的拓展

南宋数学家杨辉在他的著作里收录了此三角,中国习惯称之为“杨辉三角”。而法国数学家帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,西方称此三角为“帕斯卡三角”。笔者最初在英国作者的数学科普书籍上学习到了此三角的相关知识,为了表示对第一位数学老师的尊敬和感谢,本文统称“帕斯卡三角”。     

“杨辉三角”应为“贾宪三角”

“杨辉三角”应为“贾宪三角”河北肖青然人教社出版的职高《数学》３０７页中写到“二项式系数表，早在我国宋朝数学家杨辉公元１２６１年所著的《详解九章算法》一书里就已出现．我们称它为‘杨辉三角’”。根据史料记载，最早发现此表的是北宋数学家贾宪，故称为“贾宪...     

“杨辉三角”：数学联系的充分体现

“杨辉三角”事实上应称为“贾宪三角”。根据目前已掌握的文献看，它最早出现在贾宪的著作《黄帝九章算法细草》中，贾宪称它为“开方作法本源”图。但是贾宪的这一著作已经失传，而杨辉在他的《详解九章算法》中作了征引。杨辉指出此图“出释锁算书，贾宪用此术”。在西方，法国数学家帕斯卡（A．Pascal，1623—1662）1654年提出与此相同的三角，较贾宪晚了将近600年，但帕斯卡还获得了这个算术三角形的许多性质，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对教材的编写建议指出：“重视知识之间的联系与综合”与“介绍有关的数学背景知识”；     

是杨辉三角吗?

由二项式公式得到一个三角形的二项式系数表，进而由“巴斯噶三角形”上溯至与此有关的各个数学家，最后追溯到我国北宋时期数学家贾宪及其与此相关的研究成果，由此笔者认为无论现行高中课本中的“杨辉三角”还是外国人所说的“巴斯噶三角形”到头来都应为“贾宪三角”，这才更与数学史实相符。     

树形三角

提出了“树形三角”的概念．它是在“树形图”的基础上,结合“杨辉三角”的有关性质构建而成的特殊三角形。利用“树形三角”可以简练而巧妙地解决“环形传递”问题。     

浅论高阶等差数列求和与“差分三角群”

华罗庚教授在《从杨辉三角谈起》一书中,创造性地应用差分理论,圆满地解决了“对高阶等差级数的求和问题”.而本文则试图给出一个类似“杨辉三角”的“差分三角群”,它在一定范围内可以简化推导各阶差分的运算过程;还可以直接建立和贝尔鲁理数的换算关系;此外,差分三角中的所列数据结合矩阵理论还可以求解一类特殊的线型方程组.     

高阶等差数列与杨辉三角

杨辉三角(或叫帕斯卡三角)是大家比较熟悉的,它是二项式中的内容,我国宋元时代大数学家朱世杰在《四元玉鉴》中早有研究,本文试图从杨辉三角的构造得到启示,导出任意r(r∈N)阶等差数列的通项公式及其前n项的和公式(为统一起见,我们定义公差非零的等差数列为一阶等差数列) 下面我们首先看一下存在于杨辉三角中的高阶等差数列(包括等差数列) 下表是我们熟悉的杨辉三角     

加强对教材的钻研

当前在数学教学中忽视钻研教材的倾向比较严重,由此就造成在教学中馈重于知识的传授,而忽略对学生的教育培养。本文以“二项式定理”这一单元为例,谈谈怎样加强对教材的钻研。一、结合教学内容对学生进行思想教育“二项式定理”这一单元介绍的“杨辉三角”是我国数学史上的辉煌成就之一,它出现于宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书,要比法国“帕斯卡三角”早400年。应通     

自然数方幂和与伯努利数（上）

一、小史 两千多年前希腊数学家毕达哥拉斯在研究“形数”时已注意到了“三角形数”(排成三角形状时的点数)。     

爱国主义教育要善于利用“活教材”

近几年来 ,洞口县四中利用“活教材”对学生进行爱国主义教育 ,取得了较好的成效。他们的具体做法有四条。利用课本中的“活教材”激发学生的爱国之情。学校规定每个教师从备课到上课都要有爱国主义教育的具体内容。每个教师基本上都能根据教材内容 ,利用一些生动具体的感人材料对学生进行爱国主义教育。数学教师王生刚 ,在教学“二项式定理”时向学生指出 :“杨辉三角”在欧洲被称为“帕斯卡三角” ,他们以为是法国数学家帕斯卡发现的。其实 ,我国数学家贾宪和杨辉早在十一、十二世纪就分别作了阐述 ,比“帕斯卡三角”早四五百年 ,只是由于…     

一个数学小资料的探究价值

1问题提出 《数学5（必修）》（北师大版）第51页的“数学小资料”介绍了古希腊数学家海伦（Heron,公元62年左右）和我国南宋数学家秦九韶（1202～1261）对已知三角形三边,求三角形面积的研究成果．     

有趣的杨辉三角

“杨辉三角”是指如下一个表：0行 11行 1 12行 1 2 13行 1 3 3 14行 1 4 6 4 15行 1 5 10 10 5 16行 1 6 15 20 15 6 1… ……这个表是我国南宋数学家杨辉首先发现的.由于它的形状是一个三角形,因此叫它为“杨辉三角”.在国外,有人把它叫做“巴斯卡三角形”,他们认为这个表是英国的巴斯卡发现的.其实巴斯卡的发现比杨辉要晚三百多年.杨辉三角的结构特点是：每行首、尾的数字都是1,中间的每个数正好是该数两肩上的两数之和.根据这个特点,我们是容易记住这个表的.杨辉三角是数学之花.它有许多有趣的性质和用途.1“杨辉三角”与“11的方幂”仔细观察“杨辉三角”,不难发现,0行有1=110,1行有11=111,2行有121=112,3行有1331=113,……由此猜测：n行就是11n,这种猜想是正确的.不过要注意的一点是,对第5及以下的各行,要注意进位问题,凡大于或等于10的数必须逢十进一.例如116,第6行的数是1、6、15、20、15、6、1,第三、第四、第五个数进位以后,它就是1771561,而116=1771561.2“杨辉三角”与“2的方幂”现在我们把“杨辉三角”中各行的数分别加起来,得到0行为1.1行为1＋1=2.2行为1＋2＋1=4.3行为1＋3＋3＋1=8.4行为1＋4＋6＋6＋4＋1=16.……观察这组等式,我们发现各行的结果分别为20、21、22、23、24、…,由此我们可以猜想：“杨辉三角”中的第n行各数之和是2n.这是正确的.     

有趣的三角形内角与半角的不等式

《中学数学》1996年第1期“一个三角不等式”一文给出了三角形中的一个新的不等式:     

关于三角形中三角恒等式的一个注记

《数学教学通讯》1996年第1期《用联系的观点统一处理一类三角恒等式》一文举例说明了三角形中一些三角恒等式之间的联系,读后颇受启发.但该文对三角形中三角恒等式之间的联系尚未充分地发掘.本短文发掘三角形中三角恒等式之间的另一种联系,作为一个注记,供读者参考.设 A、B、C 是△ABC 的三个内角,则不难知     

寓德育于数学教学之中

如何离德育于各科教学之中，是当前值得认真研究的问题，我在数学教学中进行了一些尝试，取得了比较理想的效果。一、进行爱国主义教育。自古至今，我国数学领域的研究取得过无数次辉煌的成就，为世界数学领域的研究和发展诈出了杰出的贡献。在多年的数学教学中，我总是根据教材实际，不失时机地列举一些典型实例，如在讲二项式定理时，我结合（a＋b）”展开式中各项系数的规律性排列进行了讲解，系数的排列类似一幅三角形的图表．象这样的图表早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现。我们称它为杨辉三角，比其他…     

组合数学教学中的重点和难点分析

一、概述组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。据传说,大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方,这是有关组合数学的最早记录。我国古代数学家在组合数学方面取得了举世瞩目的成就。北宋数学家(约11世纪)贾宪著有《黄帝九章细草》、《算法古集》,现都已失传。杨辉所著《详解九章算法》(1261年)中,曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表,现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。前者比帕斯卡三角形早600年,后者比霍纳的方法(1819年)早770年。1666年,莱布尼兹所著的《组合学论文》一书问世,这…     

杨辉三角的推广——数三角

“杨辉三角”的每行都是某个二项展开式的二项式系数,每一行的两端都是1,除1外,每一个数都等于它肩上两数的和。现在给出一个与“杨辉三角”类似的“数三角”。     

一个新的三元二次型三角不等式

英国数学家沃斯顿霍姆（J.Wolstenholme）在1867年出版的一本数学书中，首先给出了下述有关三角形的三元二次型三角不等式：对任意AABC与任意实数x，y，z有     

几个数字三角形

人们在数学计算中,发现了一些数字三角形,其中,我们最熟悉的便是杨辉三角了.其实,数字三角形还有许多,如莱布尼兹三角形、斯特林三角形、贝尔三角形、法莱三角形,等等.本文分别谈谈它们被发现的背景.     

例谈在杨辉三角中设计的问题

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家．他的数学著作颇多，在他的著作中收录了不少现已失传的算题和算法、杨辉三角是杨辉的重要研究成果之一．杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律，古今中外，有许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入地研究过杨辉三角，并将研究结果应用于其他的工作．下面我们来看一些在杨辉三角中设计的问题．[第一段]