高观点下的初等几何之共点问题

在克莱因变换群理论下,欧氏几何是射影几何的子几何.因此,可以说射影几何学的思想理论对欧氏几何具有一定的指导意义.本文仅从几个射影理论就初等几何中的直线共点问题的证明方法进行研究.     

对偶与配极

对偶原则是高等几何里的一个重要原理和方法。利用对偶的方法研究射影几何问题贯穿在教材的始终。 点与直线是射影平面上的基本元素。点在直线上或直线通过点,称为点与直线接合,一个平面几何问题,如果只涉及到接合关系便称为是射影的。射影平面上只用点线接合表达的全部命题构成平面射影几何学。由于射影平面与欧氏平面的结构不同,因此它具有一些特殊的属性,对偶原则就是其中一个重要的特性。     

关于几何学之间辨证关系的探讨

1引言几何学按传统的定义来讲是研究图形及其性质的一门科学．由于研究问题的范畴不同，形成了欧氏几何、伤财几何、射影几何三门独立的几何学．从欧氏几何过渡到射影几何，既有公理体系上的本质差别，又有三种几何学之间的内在联系．从辨证的意义上讲，揭示这种几何学之间的内在联系，对认识几何学的统一具有重要意义．2理想元素的引入将欧氏几何过渡到射影几何通常，大众所接触到的几何学是欧氏几何．在欧氏几间个，所研究的基本元素（点和直线）都是有限元素，如果建立西直线点之间的中心投影，则每条直线上都有一点在另一直线上没有对应…     

塞瓦定理与梅涅劳斯定理的联合推广

译注:该文引用了两个不难理解的新概念(广义欧氏平面(这是射影几何中的概念),与重心坐标),而使有关证明相当简洁,有关定理的结果及应用实例都很有启发性。塞瓦定理与梅涅劳斯定理在讨论诸线的共点与诸点的共线方面应用很广,其结果早已从三角形推广到多边形及空间图形。此外,这两个定理由于具有对偶性还可以相互导出。本文仅就三角形的情形给出一个推广,使     

高等几何知识在初等几何解题中的应用

高等几何对初等几何有着指导作用。Klein的群论原则把各种几何统一在变换群的观点之下,指出欧氏几何是射影几何的子几何,使我们认清了各种几何的内在联系。初等几何中有射影性质的问题,例如变化、调和比以及共点、共线等问题,都可以用高等几何的方法去解决。初等几何中有些问题实际上是射影几何问题的特例。用初等几何方法去解很麻烦的特例。用初等几何方法去解很麻烦的问题,用射影几何方法去解却很简单。下面通过一些例题     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…     

射影几何中的共点线(共线点)定理的关系

对射影几何中的共点线(共线点)定理之间的关系进行探讨,给出它们有关的对偶关系和等价关系.     

巧求直线与平面所成的角

求直线与平面所成的角是高考考查的重点,我们必须熟练掌握求直线与平面所成的角.在求直线与平面所成的角时,应注意先判断直线与平面的位置关系.当直线与平面斜交时,关键是确定斜线上某点在直线或平面上的射影.最常用的方法就是利用面面垂直的性质定理,即寻找一个经过这点且与已知平面垂直的平面,作出它们的交线,再过这点向交线作垂线,其垂足就是这点在平面上的射影.但有的题目采用这种方法比较复杂,若采用一些特殊的解题技巧,就可以避免繁难的几何作、证、求.下面介绍一些解题技巧.例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD…     

谈笛沙格定理在初等几何中的应用

笛沙格定理是平面射影几何的基础之一 ,是射影几何的一个重要命题 ,在初等几何证明中某些“点共线”、“线共点”问题和解决求轨迹、求定点和作图等问题中有独到之处 .笛沙格定理 :两个三点形对应顶点的连线交于一点 ,那么 ,对应边的交点共线 .对偶定理 (逆定理 ) :两个三线形对应边的交点共线 ,那么 ,对应顶点的连线交于一点 .在运用笛沙格定理或逆定理证明点共线或线共点时 ,准确找到两个三点形或两个三线形是十分重要的 .如果找到的两个三点形或三线形不能解决问题时 ,一般应调整对应顶点的次序 ,以达到证明的目的 .例 1　已知△ ABC及…     

欧氏几何命题的射影证明及推广

本文介绍了射影几何理论在欧氏几何命题证明中的应用及推广,在射影几何观点下探讨一些欧氏几何命题的内在联系,从而加深对欧氏几何理论和方法的理解,获得在较高观点下处理欧氏几何问题的能力.     

射影坐标与距离的新公式

1引言在欧氏空间R3中设任一直线与任一平面相交,其交点为O0（x0,y0,z0）。令过此定点的空间直线和平面的方程分别为射影是几何学中的重要概念之一。在解析几何的向量代数一章中只讨论向量在轴上的射影和一些性质[1],[2],在空间解析几何的部分公式的推导过程中只利用了有关射影知识,此外我们未见到关于射影坐标概念,例题和习题。本文利用向量法和矩阵的乘法,给出欧氏空间R3中的射影矩阵和点M到直线L（或Ⅱ）的距离的不同定义,并讨论了相关的性质。最后举例说明新公式的应用。2点在直线上的射影坐标与距离定义1空间中任一点M在直…     

高考复习《直线、平面、简单几何体》(A版本)专题系列讲座

要点解读复习本专题我们应做到:(1)掌握平面的基本性质,会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念.对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面…     

例谈笛沙格定理的构形及应用

笛沙格（Desarues）定理是平面射影几何的基础之一。用笛沙格定理及对偶定理来证明某些点共线,线共点的命题,较之初等几何的方法更简捷。如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一条直线上,如果两个三点形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线交于一点。笛沙格定理的逆定理为更好利用苗沙格定理解决问题,下面对其构图进行分析。笛沙格定理的图形共有十个点和十条直线,每个点上有三条直线通过,每条直线上有三个点。十个点中任一点均可作为衡沙格点（透视心0点）,十条线中任一条均可作为笛沙格线（透视轴E）…     

平面射影几何基本定理的一个等价命题

本文证明了平面射影几何基本定理的一个等价命题:即由不共线三对对应点及不过此三点的一对对应直线确定一个平面射影变换.     

Desargues对偶定理的推广及应用

Desargues对偶定理主要用于证明仿射平面上的共点线,为使Desargues对偶定理能在初等几何中有所应用,将无穷远点还原为直线的平行,并运用其解决欧氏平面上的线共点问题。     

梅涅劳斯(Menelaus)定理在四边形中的推广

<正>梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的,使用该定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用.我们的问题是,这个定理在四边形中还成立吗?下面给予探究.     

射影几何学中的一条定理

<正> 在二次曲线的射影理论中,有两条基本定理,就是斯丹纳定理及其对偶定理。 斯丹纳定理:从二次点列的任意两点向这个二次点列的点投射直线,就得到两个射影线束。 斯丹纳定理的对偶定理:二次线束里的直线,被这个线束任两条直线所截,就得到两个射影点列。     

“射影法”在竞赛中的应用

射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科.一度也叫做投影几何学,在经典几何学中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把其他一些几何学联系起来.本文从几个例题来解说射影     

利用几何模型证三点共线

<正>把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题,称为数学建模,该数学问题称为原问题的数学模型.平面几何中的几何概念、图形的性质、几何公理、定理等都可以视为几何模型,利用几何模型可以顺利解决几何中的一些难题.下面介绍用几何模型证三点共线的几种方法,供参考.一、邻补角模型如图1,要证明A、B、C三点共线,可选择一条过点B的直线PBQ,并连结AB、CB,证明∠ABP与∠CBP互为邻补角,即∠ABP+     

几何画板在高等几何绘图中的应用

笛沙格定理和帕斯卡定理是射影几何中的重要定理,根据这些定理的原理,可导出绘制平面与柱面锥面等直纹面的交线、绘制由平面上一些点或点与直线确定的二次曲线的方法.然而这些方法通过手工描绘仍难以实现,使用计算机则使问题变得简单.利用几何画板软件的轨迹功能,可以方便地进行柱面锥面的截线、曲线的投影和二次曲线的绘制.