矩形外接圆周上点的有趣性质在三维空间中的拓展

文[1]证明了矩形外接国周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性，在二维空间（平面）上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法：把矩形和等对棱四面体（或长方体）类比，把圆周和球面类比，将这一性质拓展到三维空间中而获得颇为有趣的结论：定理等对校四面体外接球面上任一点到该四面体的各面三角形重心的距离的平方和为定值。何谓等对棱四面体，我们称三组对核分别相等的四面体为等对校四面体，过四面体每条校可作唯一平面平行于对棱，六个面围成…     

关于长方体外接球的几个不变量

文给出了矩形外接圆周上点的两个有趣性质: (1)矩形外接圆周上任一点到各顶点距离的平方和为8R~2; (2)矩形外接圆周上任一点到各边中点距离的平方和为6R~2(R为外接圆的半径)。 本文将这两个结论由平面推广到空间,     

三个定理的统一证法及常数k的下界确定

文 [1 ]证明了定理“对任一直角三角形 ,存在等周等积的矩形”。文 [2 ]证明了下列两定理 ,定理 1 :“对任意直角三形 ,总存在一个矩形 ,使得矩形与直角三角形的周长和面积比等于常数ｋ(ｋ≥ 1 )” ;定理 2 :“对任意三角形 ,总存在一个矩形 ,使得矩形与三角形的周长和面积比等于常数ｋ(ｋ≥ 1 )”。笔者经过研究 ,得出以上三个定理的统一证法 ,并对 0 <ｋ<1的情形作了进一步探索。引理　在△ＡＢＣ中 ,求证 ,ｓｉｎＡ·ｓｉｎＢ·ｓｉｎＣ≤3 38。 (常见不等式 ,证略 )1　三个定理的统一证法设△ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ ,其外接圆的…     

多面体（多边形）顶点系重心的优美性质

文[1]～[7]等多篇文献,给出了多边形外接圆或多面体外接球上点的有趣性质,特别文[7]利用空间直角坐标系,得到了多面体顶点系重心的若干性质.笔者经研究发现,这些性质均为多边形或多面体     

正多边形外接圆周上点的性质

本文将文[1]的结论推广,给出正 n 边形外接圆周上点的有趣的性质.引理半径为 R 的圆周上任意一弦与此弦所对圆周角的正弦之比等于2R.     

欧拉不等式在多边形中的推广

正欧拉在1765年给出关于三角形的外接圆半径R与内切圆半径r的著名不等式R≥2r.近年来,不少文章对这个不等式进行探讨,如文[1]、[2]、[3]、[4],但是这些都是基于三角形下进行的.本文针对具有外接圆和内切圆的多边形,推广出其外接圆半径R与内切圆半径r具有如下关系:R1cos(πN)×r其中:N表示多边形的边数.假设具有外接圆和内切圆的多边形为N边形;该N边形的边长分别为:d1,d2,…,dN;且各边所对应的外接圆的圆心     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

正四面体的两个等价命题

文[1]提出并证明了这样一个命题:正三角形各顶点到其外接圆的任一切线的距离之和为定值。把这个命题推广到空间,就得到如下结果: 定理1 正四面体各顶点到其外接球的任一切平面的距离之和为定值. 为避免定理1的证明过程过于冗繁,我们将文[2]中的一个习题作为下面的     

三角形周长面积平分弦最值探讨

笔者曾在文[1]上对“三角形面积平分弦的性质”进行了探索,并在文后提出了问题“平分三角形的周长的线段中最大(小)者有怎样的性质?”文[2]对此进行了研究,并在文后也提出了一个问题“既平分三角形周     

关于双曲线“虚切点”的几个优美性质

文[1]、文[2]、文[3]分别介绍了有关双曲线“虚近点”、“渐准点”、“渐切点”的若干性质．受此启发,笔者对有关双曲线的“虚切点”的性质进行了研究,得到几个优美性质,现说明如下,与读者共享．     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

再探一个有趣的几何不等式

文[1]中给出了一个有趣的几何不等式: 定理1 若△DEF是△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,面积为S,△DEF的外接圆半径为R0,则有     

界心、Nagel点及其他

1　近几年来关于三角形“界心”的研究从 1 995年文 [1 ]提出三角形“界心”概念以后 ,近几年来围绕“界心”的文章不断涌现 (见文 [2 ]-[8]) ,形成一个小小的热潮。设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ周界上的两点 ,如果这两点将三角形周界分为相等的两部分 ,则称线段ＰＱ为△ＡＢＣ的一条分周线。关于“界心”研究的主要结果有如下述 :(1 )△ＡＢＣ中过顶点的分周线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交一点Ｋ ,称之为第一界心。假设ａ、ｂ、ｃ,ａ′、ｂ′、ｃ′ ,Ｒ、Ｒ′ ,ｒ、ｒ′,分别为△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的边长、外接圆半径、内切圆半径 ,那么还有以下性质 :① Ｓ…     

一个几何不等式的再加强及应用

设△ABC的三边长为a,b,c,面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△,R,r.文[1]证明了如下结果:     

面积、费尔马和与最小内接正三角形

设△ABC的外接圆半径为R,文[1]中证明了其内接正三角形的最小边长为     

Child不等式的加强

在锐角△ABC中,记R、r分别为其外接圆与内切圆半径,s为其半周长。∑表示循环和。 文[1]将文[2]中的Child不等式 sum secB·secC≥12 (1)     

椭圆涉及矩形的两个性质及引申

最近笔者认真阅读了文[1]、[2],对其中讨论的一些问题作了深入思考,得到了一些结论,现将其整理成此文,与大家交流.本文先给出笔者思考文[1]所得的椭圆涉及矩形的两个性质,然后将所得结论引申到圆及双曲线中去.     

"黄金椭圆"性质的探究

文[1]曾探索“优双曲线”的性质，下面笔者用类比的方法探索“黄金椭圆”的性质。     

欧拉不等式又两则简证

<正>不等式"R≥2r",也即"三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径",这就是著名的欧拉(Euler)不等式.文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]、[4]给出了"更简捷证法",受其启发,本文将再给出两则新简证.本文中,设△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,△ABC的外接圆和内切圆的     

“性质”无力解方程

1 关于“等式的性质” 文[1]、[2]业已指出,文[3]中定义的“等式”乃属子虚乌有,因此以后涉及“等式”概念的一切讨论,也就是空对空．但由于这些文献往往并不坚持从自己的定义出发,去展开以后的内容,而是随心所欲,偷换概念（的定义）,所以仍能进行．但不免又出新的错误,如文[3]中的第182页说：[第一段]