2010年高考全国卷I理科第20题（Ⅱ）的简解

题 已知函数f（x）=（x＋1）ln x-x＋1．（I）略;（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．对（II）,参考答案给出的方法有较强的技巧性,思维重心显得偏高．笔者给出下面的简解,供参考．     

由一道高考题想到的——浅谈构造函数证明不等式的方法

2008高考山东卷第21题第二问是这样的： 已知函数f（x）=1/（1-x）^n＋ln（x-1）,证明：对任意正整数n,当x≥2时,有f（x）≤x-1．     

全国卷Ⅱ（理）第22题

题目 设函数f（x）=1-e^-x． （Ⅰ）证明：当x〉-1时,f（x）≥x/x＋1; （Ⅱ）设当x≥0时,f（x）≤x/ax＋1,求a的取值范围．     

f′（-′x）究竟表示什么

1．引例 f（x）和9（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，＋∞）的可导奇函数和偶函数，当x〈0时，f′（x）9（x）＋f（x）g’（x）〉0，且g（-3）=0，解不等式f（x）g（x）〈0．     

全国卷Ⅰ（理）第20题

题目 已知函数f（x）=（x＋1）In x—x＋1. （Ⅰ）若xf′（x）≤x^2＋ax＋1,求a的取值范围; （Ⅱ）证明：（x-1）-f（x）≥0．     

湖北卷（理）第21题（Ⅲ）

题目 已知函数f（x）=ax＋b/x＋c（a〉0）的图象在点（1,f（1））处的切线方程为y=x-1． （Ⅰ）用a表示出b,c; （Ⅱ）若f（x）≥In z在[1,＋∞）内恒成立,求a的取值范围;     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

高考四川卷压轴题（2）的简易证法

2006年高考四川卷（理）压轴题为： 已知函数f（x）=x^2＋2/x＋alnx（x〉0）,f（x）的导函数是f＇（x）,对任意两个不相等的正数x1、x2,证明：     

ln(x+1)≤x的几个推论及其应用

利用导数容易证明我们熟知的不等式： 定理当x〉-1时,ln（x＋1）≤x（当且仅当x=0时等号成立）．     

2011年数学大纲全国卷压轴题研究

1.压轴题（即第22题）（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1＋x）-2x/x＋2,证明：当x〉0时,f（x）〉0;（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：p〈（9/10）~（19）〈1/e~2（其中e是自然对数的底,下同）。     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

二道高考试题的推广

2005年高考数学（全国卷Ⅰ）第22题为： （Ⅰ）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x），（0〈x〈1）；求f（x）的最小值．（Ⅱ）设正数P1，P2，P3，…，P2^n，满足P1＋P2＋P3＋…＋P2^n=1，证明：P1log2Pl＋P2log2P2＋P3log2P3＋…＋P2^nlog2P2^n≥-n．本文给出此题的一个推广：     

江苏卷第20题（2）

题目 设f（x）是定义在区间（1,＋∞）上的函数,其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x）,其中h（x）对任意的x∈（1,＋∞）都有h（x）〉0,使得f′（x）=h（x）（x^2-ax＋1）,则称函数f（x）具有性质P（a）．     

高中数学探究性教学案例及反思——谈函数f（x）=x＋1/x（x〉0）的教学设计

文[1]阐述了函数f（x）=ax＋b/x（a,b〉0）的高考复习设计．本文与之不同的是,提供一个在高中起始阶段,讨论类似问题的教学案例．     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

超级难题的简单解法（九）

例1 已知函数f（x）=x^2·e^ax,x∈R,其中e为自然对数的底数,a∈R．若对于任意的a〉0,都有f（x）≤f＇（x）＋x^2＋ax＋a^2＋1/a·e^ax成立,求x的取值范围．     

一道高考压轴题证法的改进及应用

1问题提出 （2012年湖北省高考文科压轴题）设函数f（x）=ax＂（1-x）＋b（x〉0）,n为正整数,a、b为常数,曲线y=f（x）在（1,f（1））处的切线方程为x＋y=1．     

一类抽象函数单调性的证明

有一类抽象函数,它的单调性可以通过函数方程及附加条件来进行证明．这类抽象函数的附加条件大致可分为两类：第Ⅰ类是当x〈1或x〉1时。f（x）〉a或f（x）〈a;第Ⅱ类是当x〈0或x〉0时,f（x）〉0或f（x）〈a．判断与证明这两类附加条件下抽象函数的单调性,一般可通过以下方式来进行．     

关于｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的再思考

文[1]通过证明,给出了不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法,提出“必须检验所得范围中区间端点是否符合题意”的做法．受文[1]启发,一个自然的问题是：为什么有些问题中端点取不到,有些问题中端点取得到,取得到时对应切线的切点在函数图像的什么地方,有没有规律？本文在文[1]的基础上进一步探究．