空间曲线的基本不变量

我们知道,用公理法可以建立各种几何学,这可以说是用静的观点来研究几何学.我们还可以用动的观点来研究几何学,这就是研究变换群所对应的几何学的问题。有一个变换群就相应地有一种关于在这个群作用下不变性质理论的几何学。把几何学与变换群联系起来而给予几何学一种新的定义,是德国数学家克莱因(F·kLein)于一八七二年在”爱尔兰根纲领”中提出来的,近百年来数学发展的历史说明了克莱因观点在近代几何领域起了很大作用。按照克莱因的观点,几何学就是研究图形在变换群下的不变性质与不变量的一门科学.     

用复数研究初等几何变换

德国数学家克莱因(Klein)用运动变化的观点,把“几何学”看作是研究在变换群下图形的不变性质,在不同的变换群下,便得到不同的几何学。现在我们用复数的运算,来研究初等几何中的几种变换群,这是几何代数化的一种途径。     

射影几何在中学几何中的两点应用

按照克菜因群论的观点,一个变换群对应着一种几何学,每种几何学所研究的对象是在相应变换群下,图形的不变性、不变量以及那些不变图形。由变换群的包含关系知,射影几何包含了仿射几何,仿射几何包含了欧氏几何,所以射影几何和仿射几何巾图形的性质在欧氏几何中必然成立。平行的概念只需理解为相交于无穷远点。这样我们可以利用射影几何、仿射几何的知识去解决初等几何问题,居高临下,问题就显得简单易解。     

高等几何与中学几何

本文拟通过具体实例说明学习高等几何的重要性以及它对于初等几何和解析几何的指导意义。一、高等几何用变换群的观点认识几何学,揭示几何学的内在联系。 1872年德国数学家克莱因在德国爱尔兰根大学作了《近世几何学研究的比较评论》的学术报告。在这篇报告中,他把变换群与     

几何学与变换群

设{M}是一组事物,G是这组事物{M}上的一个变换群,实际上G给出了这组事物的一种分类方法。在几何中{M}就是图形的集合,在G中把一个图形变换为另一图形的充分必要条件是这两个图形属于同一类。由于G是群,等价关系满足传递性,即对于三个图形m_1、m_2、m_3,如果m_1匀m_2属于同一类,而m_2与m_3属于同一类,则m_1与m_3也属于同一类。且G是{M}的自同构群,凡一类里的所有图形所共有的任何性质就是关于群G的不变性质。我们把关于G不变性质的研究取为几何学的特征,这样关于G的不变性质的抽象研究就成了对几何学特征的讨论。     

高观点下的初等几何之共点问题

在克莱因变换群理论下,欧氏几何是射影几何的子几何.因此,可以说射影几何学的思想理论对欧氏几何具有一定的指导意义.本文仅从几个射影理论就初等几何中的直线共点问题的证明方法进行研究.     

仿射观点下的Menelaus定理与Ceva定理

1.引言 按Felix Klein所给的定义,几何学可以用几何变换群来分类。几何图形,如曲线,曲面等等在一已知几何变换群G下不变性质的研究称为属于群G的几何学。如果G是射影,仿射或欧氏群,我们有相应的射影,仿射或欧氏几何学。 由有限次的平行射影即透视仿射的乘积便构成一个仿射。在仿射平面内所有仿射变换的集合构成群。这个群称为仿射群。在仿射群下几何图形有许多不变的性质和不变量,其中最重要的不变性是同素性和结合性,最重要的不变量是单比。     

课程标准与几何证题

跨越十九世纪到二十世纪的名数学家、数学教育家克莱因，在他24岁时，在就任教授的就职演说一题为《近代几何研究》一中指出，几何是图形对某种变换群保持不变性质的学说，即有名的《爱尔兰根纲领》。     

高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考(四) 伸缩变换及其在有关面积求解中的应用

通过变换(诸如全等、相似、平移、伸缩、旋转等)对几何图形进行分类,是几何学研究的重要内容,揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是     

浅谈应用高等几何方法解决初等几何中共线点及共点线问题

初等几何中共线点及共点线的问题,本来是个简单的几何问题,然而这个问题运用初等几何方法去解决,有时会觉得非常复杂和困难。在高等几何中,它的一个重要内容是研究图形在射影变换下的不变性和不变量,而同素性和结合性又是它的主要不变性质。所以初等几何中关于共线点、共点线的问题能运用高等几何方法去解决。     

“射影法”在竞赛中的应用

射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科.一度也叫做投影几何学,在经典几何学中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把其他一些几何学联系起来.本文从几个例题来解说射影     

运用几何动态思想探求新知

几何学是研究几何体的性质——形状、大小和相互位置关系的一门学科．早期人们只研究静止的图形,随着研究的深入,才逐步引入动态思想,把图形之间的位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中．所谓动态思想就是考查图形在运动过程中哪些量不变,哪些量变化,并找出其中的规律．动态思想在初等几何中经常出现．     

几何

几何最初是被理解为研究图形的性质和度量的一门数学的分学科.后来,把图形和变换联系起来,图形经过变换后有些性质改变了,但有些性质仍能保持.几何中研究的就是图形在一些变换下所具有的不变的性质.     

仿射性质在初等几何中的应用

本文体现克莱因几何观点,介绍仿射变换的几个性质,利用仿射变换的不变量和不变性解决初等几何问题,体现了高等几何对初等几何的指导意义.     

谈谈距离概念

有位数学家曾说:欧氏几何的本质是距离.克莱因的观点;几何性质在主群中的变换之下保持不变,这也可以改写为:几何性质由在主群中的变换之下保持不变的事实来刻划.欧氏几何所对应的主群——运动群,在这个主群中的变换之下的不变量,就是距离.距离决定着几何图形的位置、形状、大小.距离有以下的性质:设A、B、C是三个点,则(1)|AB|≥0,|AB|=0(?)A=B;(2)对称性:|AB|=|BA|;(3)三角形不等式:|AC|≤|AB| |BC|.     

浅谈高等几何与初等几何的关系

几何学是数学的重要组成部分之一,对提升学生观察图形的能力、空间想象力、逻辑推理的能力等具有重要的作用。高等几何和初等几何作为几何学的重要模块,在学习思维上具有很多相似之处,初等几何的学习为几何学打下了坚实的基础,高等几何是在初等几何的基础上进行延伸和扩展的一门课程。研究高等几何和初等几何之间的关系,可以更好的实现它们之间的过渡和衔接,提升学生的学习效率。     

S^n上的变换群探究

球面是欧氏仿射空间中除子空间外的最简单的图形,因此在数学上和实际应用,如航海学、天文学和机械学中,很自然到处都要遇到球面.根据克莱因的观点,几何就是研究空间在变换群作用下的性质.文中通过球坐标表示,介绍的n维球上相切的一簇定向球对应洛伦兹空间中直线,以及n维球上的变换群.     

如何进行平移变换

平移变换是保持两点间距离不变的变换，称为合同变换。在这种变换下图形的大小和形状不变，实质是全等变换。在《课程标准》中，并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，研究图形的性质，而是直观地理解平移使图形产生了运动。     

椭圆旋转、双曲旋转与变换群

在仿射平面中,得到保持椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1或双曲线xy=c不变的仿射变换的全体对于变换乘法分别构成一个变换群,及在此群下的图形不变性质.     

圆中常作的辅助线

(本讲适合初中 )前苏联数学家亚格龙将几何学定义为 :几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科 .我们把几何图形的运动叫做“几何变换” ,常见的几何变换有平移、对称与旋转 ,它们都是“保距变换” ,即一个几何图形运动到一个新的位置时 ,这个图形上任意两点的距离保持不变 .本文就平移变换在解竞赛题中的应用加以介绍 .1　基础知识平移变换是使图形Ｆ1上的点沿同一方向平移同一距离得到图形Ｆ2 .平移变换前后的图形具有如下性质 :( 1 )对应线段平行且相等 ;( 2 )对应角的两边平行且方向一致 .例 1　如图 1 ,六边形ＡＢＣＤＥＦ中…